Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л3-матстат

Постановка задачи: Дана выборка объема n из нормальной

генеральной совокупности:

x1, x2 , x3 ,..., xn . На

уровне

значимости

принять

(отклонить) гипотезу H

0

: 2

2 ,

против

альтернативы

x

0

H : 2

2 .

1 x

0

n

1

n

2 , имеет распределение хи-квадрат c

X Xi

/ n,

s

Xi

X

i 1

n 1 i 1

M 2

n 1степенями

свободы

и

параметрами

n

1 n 1;

D

2

2

n 1

n 1 . Тогда для двусторонней критической области

P

2

n 1

(n 1)s2

2

n 1

1 ,

(11)

2

/2

1 /2

0

где

2

n 1 ,

2

n 1

квантили, соответственно уровней / 2 и

/2

1 /2

2

n 1 2

2

n 1

2

/2

0

s2

1 /2

0

.

(12)

n 1

n 1

Примечание 1.

Для альтернативной гипотезы H1 : x2

02

критическая

область правосторонняя. В этом случае условие принятия нуль-гипотезы

имеет вид:

2

n 1 2

s2

1

0

,

(13)

n 1

где 2

n 1 квантиль, уровня

1 распределения хи-квадрат для числа

1

степеней свободы k n 1.

Примечание 2.

Для альтернативной гипотезы H : 2

2 критическая

1

x

0

2

n 1 2

s2

0

,

(14)

n 1

где 2

n 1

квантиль, уровня

распределения хи-квадрат для числа

Постановка задачи: Дана выборка объема n из нормальной

генеральной совокупности: x1, x2 , x3 ,..., xn .

На

уровне

значимости

принять

(отклонить)

гипотезу

H

0

:

2

2 ,

против

альтернативы

x

0

H : 2

2

. Генеральное математическое ожидание известно и равно m

x

.

1

x

0

Решение: Из теории вероятностей (см.

раздел теоретические задачи

статистики)

известно,

что

величина

2 n

nDx

,

где

2

x

1

n

2

Dx

Xi mx

имеет

распределение

хи-квадрат

c

n степенями

n i 1

M 2

D

2

свободы

и

параметрами

n

n ;

n 2n.

Тогда

для

двусторонней критической области

2

nD

2

P /2 n

x

1 /2

n

1

.

(15)

2

0

Откуда имеем условие принятия нуль-гипотезы

2

n

2

2

n

2

/2

0

D

1 /2

0

.

(16)

n

x

n

Примечание 1. Для альтернативной гипотезы H :

2

2

критическая

1

x

0

область правосторонняя. В этом случае условие принятия нуль-гипотезы

имеет вид:

1 n 0

2

2

D

,

(17)

x

n 1

2

n

1 распределения хи-квадрат для числа

где

1

квантиль, уровня

область левосторонняя. В этом случае условие принятия нуль-гипотезы

имеет вид:

2

n 2

D

0

,

(18)

x

n

где 2 n квантиль, уровня

распределения хи-квадрат для

числа

принять

(отклонить) гипотезу

H

0

:

2 2 , против

альтернативы

x

y

H

1

:

2

2 .

x

y

Решение:

Из

теории

вероятностей известно,

что

случайная

величина

2

n

s1 Dy

1

2 ;

F

n 1;m 1

,

где

s2

X

i

X

2

s

D

1

n 1 i 1

2 x

1

m

2

s22

Yi

Y

имеет

распределение

Фишера

с

числом

степеней

m 1 i 1

свободы:

n 1;m 1 .

В этом случае критическая область из двусторонней

трансформируется в правостороннюю при использовании условия s2

s2 ,

1

2

тогда условие принятия нуль-гипотезы имеет вид:

s2

n 1;m 1 ,

1

F

(19)

/ 2

s22

1

где F

n 1;m 1

-

квантиль распределения Фишера уровня 1 / 2 и

1 /2

числа степеней свободы:

n 1;m 1 .

Примечание 1.

Для альтернативной гипотезы

H

1

: 2

2 критическая

x

y

s

2

s2

s2

1

F

n 1;m 1

,

(20)

s

2

1

1

2

1

2

где F

n 1;m 1

-

квантиль

распределения

Фишера

уровня 1 и

числа степеней свободы:

n 1;m 1 .

принять (отклонить) гипотезу

H

0

: 2

2

, против альтернативы

x

y

статистики) известно,

что

случайная

величина F n;m

Dx Dy

, где

D D

y x

1

n

mx 2 ;

1

m

my 2 имеет распределение Фишера

Dx

Xi

Dy

Yi

n i 1

m i 1

Dx

F1 /2 n;m ,

(21)

Dy

где F1 /2 n;m

- квантиль распределения Фишера уровня 1 / 2 и числа

степеней свободы: n;m .

Примечание 1.

Для альтернативной гипотезы

H

1

: 2

2

критическая

x

y

Dx

F1 n;m ,

Dx Dy

(22)

Dy

Постановка задачи: Даны две выборки из нормальных генеральных

совокупностей:

x1, x2 , x3 ,..., xn , y1, y2 , y3 ,..., ym .

На уровне значимости

принять

(отклонить) гипотезу

H0 : mx my ,

против

альтернативы

H1 : mx

my .

Случай 1. Известны генеральные дисперсии:

2

и 2 .

x

y

Решение:

Из теории вероятностей известно,

что

случайная

величина

X Y

1

n

1

m

Z

,

где

X

xi

;

Y

yi имеет стандартное

2

y2

n i 1

m i 1

x

n

m

1

нормальное

распределение

Z N 0,1 .

Тогда

условие принятия нуль-

гипотезы при двусторонней критической области имеет вид:

Z

u1 /2 ,

(22)

где

u1 /2 -

квантиль

уровня

1 / 2

стандартного

нормального

распределения.

Случай 2.

Генеральные дисперсии 2 и

2 неизвестны, но гипотеза

x

y

H0 : x2 y2

принимается.

Решение:

Из

теории

вероятностей

известно,

что

случайная

величина

(n 1)s2 (m 1)s2

X Y

1

n

1

m

s2

T

,

где X

xi ;

Y

yi ,

1

2

,