Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Л2-матстат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2.1.Интервальное оценивание математического ожидания для

известной генеральной дисперсии

Постановка задачи. Пусть x1, x2 , x3 ,..., xn - выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания mx при условии, что дисперсия генеральной

совокупности известна и равна x2 , а доверительная вероятность равна

p 1 .

Решение: (в соответствии с теоремой 1 получим)

Вкачестве оценки математического ожидания mx возьмем

выборочное среднее x 1 n xi . Выборочное среднее является эффективной

n i 1

оценкой математического ожидания – это случайная величина, имеющая

нормальное распределение вида N mx

Рассмотрим статистику U

X mx

, имеющую нормальное

распределение N 0,1 , независимо от значения параметра mx . Для данной

статистики
					P u /2 U u1 /2 1 ,
где u /2 ,	u1 /2	-квантили нормального распределения N 0,1 .
						0.4
						0.3
f(x)						0.2
						0.1
4	3		u	2	1	0	1 u 2	3	4
			u				1 /2
			/2			x
						x

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

Рис.5.

Решая неравенство


u	X mx			u ,
u				u ,
/2		x
/2				1 /2

			n

получим искомый доверительный интервал

X u

m X u

1 /2

В другой форме

X u

1 / 2

/ 2

Так как квантили нормального распределения связаны соотношением:

u /2 u1 /2 ,

то искомый интервал принимает вид:

X u

m X u

(21)

1 /2

Пример 6. В таблице представлены 12 значений веса транзисторов некоторого типа. Найти доверительный интервал для оценки генерального математического ожидания веса транзисторов данного типа, если

генеральная дисперсия известна и равна x2 0,02 г2 . Указание: полагать,

что генеральная совокупность нормальная, использовать доверительную вероятность:

А.)		p 0,95			Б)	p 0,99 .

	1		2		3	4	5	6	7	8		9	10	11	12
	11		10,7		11	11,1	11	10,8	11,2		10,9	11,3	11	10,9	11,1
Решение.
		1	12
x				xi 11 г ;		x 0,14 г ;		n 12.
x				xi 11 г ;		x 0,14 г ;		n 12.
		12 i 1
Искомые доверительные интервалы:
А.)		p 0,95;			0,05 ;		u0,975	1,96 ;		mx 10,92; 11,08 ;
Б.)	p 0,99 ;				0,01;		u0,995	2,58 ;		mx 10,89;			11,1 .

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

2.2.Интервальное оценивание математического ожидания для

неизвестной генеральной дисперсии

совокупности неизвестна и оценивается величиной s2 , а доверительная вероятность равна p 1 .

Решение: (в соответствии с теоремой 3) Рассмотрим статистику

		X mx
T	n 1		, имеющую распределение Стьюдента с n 1 степенями
		s

свободы .

Для данной статистики

P t /2 n 1 T t1 /2 n 1 1 ,

где

n 1

квантиль

распределения Стьюдента с

n 1 степенью

1 /2

x 2 .

свободы,

Из

неравенства

n 1 i 1

n 1

T t

n 1 получим

1 /2

X t

n 1

X t

n 1

(22)

1 /2

В неравенстве используются свойства квантилей (табличного)

распределения Стьюдента: t /2

t1 /2 .

Пример 7. В таблице представлены 12 значений веса транзисторов некоторого типа. Найти доверительный интервал для оценки генерального математического ожидания веса транзисторов данного типа, если генеральная дисперсия не известна. Указание: полагать, что генеральная совокупность нормальная, использовать доверительную вероятность:

А.) p 0,95			Б)	p 0,99 .

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	11	10,7	11	11,1	11	10,8	11,2	10,9	11,3	11	10,9	11,1

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

Решение.

121,025 г2

xi 11 г ;

;

12 i 1

x 2

0,025 г2 ;

0,027 г2 ;

n 1

0,165 г ;

n 12.

Искомые доверительные интервалы:

А.)

p 0,95;

0,05 ;

11 2, 2

; m 10,89; 11,1 ;

0,975

Б.) p 0,99 ;

0,01;

0,995

11 3,1 ;

m 10,85; 11,15

2.3.Интервальное оценивание дисперсии для неизвестного

математического ожидания

Постановка задачи. Пусть x1, x2 , x3 ,..., xn - выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал

для	дисперсии 2		при условии, что среднее оценивается величиной
		x
	1 n
x		xi , а дисперсия генеральной совокупности оценивается величиной
x
	n i 1

s2 , доверительная вероятность равна p 1 .

Решение: (в соответствии с теоремой 2)

n 1 S 2

имеет распределение 2

Статистика

n 1 . Тогда

n 1 S 2

p 1 .

1 /2

Анализируя неравенство под знаком вероятности, получим

n 1 S 2

1 /2

n 1 S

1 /2

n 1 S 2

n 1 S 2 .

1 /2

Таким образом, искомый доверительный интервал

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

							n 1 S 2						2	n 1 S 2		,	(23)
													2	n 1 S 2		,	(23)
										2			x		2
										2					2
									1 /2						/2
где -	2	n 1	,		2	/2			n 1			-	квантили распределения 2				с n 1
	1 /2					/2
									1		n
степенью свободы,				s					1		xi x 2 .
степенью свободы,				s							xi x 2 .
								n 1 i 1

Пример 8. В таблице представлены 12 значений веса транзисторов некоторого типа. Найти доверительный интервал для оценки генеральной дисперсии веса транзисторов данного типа. Указание: полагать, что генеральная совокупность нормальная, использовать доверительную вероятность:

А.)			p 0,95					Б)	p 0,99 .

	1					2		3	4	5		6					7		8		9			10	11	12
	11					10,7		11	11,1	11		10,8				11,2				10,9	11,3			11	10,9	11,1
Решение.
			1			12								1		12
			1			12					x2			1		12		2		121,025 г2 ;
	x				xi 11 г ;										xi			2
	x				xi 11 г ;										xi
			12 i 1										12 i 1
														n
	D*	x2 x 2						0,025 г2 ;			s2			n			D*		0,027 г2			;
	D*	x2 x 2						0,025 г2 ;			s2						D*		0,027 г2			;
	x												n			1	x
													n			1

	s			s2			0,165 г ;			n 12.
А.)			p 0,95;					0,05 ;		2		11				21,92 ;					2		11 3,82			;
											0,975										0,025
Искомый доверительный интервал:														x2 0,014; 0,079										;
Б.)		p 0,99 ;						0,01;		2		11				26,76 ;					2		11 2,6 ;
											0,995										0,005

Искомый доверительный интервал: x2 0,011; 0,115 .

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

2.4.Интервальное оценивание дисперсии для известного

математического ожидания

Постановка задачи. Пусть x1, x2 , x3 ,..., xn - выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для дисперсии x2 при условии, что генеральное математическое ожидание известно и равно mx , а дисперсия генеральной совокупности оценивается

величиной Dx

, а

доверительная вероятность равна

n i 1

p 1 .

Решение:

Статистика

nDx

имеет распределение 2 n . Тогда

nDx

p 1 .

1 /2

Анализируя неравенство под знаком вероятности, получим

2	nDx	2		,
2		2		,
/2	2		1 /2
	2
	x
1	2		1
	x				,
2	nD		2		,
2	nD		2
/2	x		1 /2

								nDx			2			nDx			.
								2				x		2
								2						2
									/2						1 /2
Таким образом, искомый доверительный интервал
								nDx					2		nDx	,		(24)
													x			,		(24)
									2				x		2
									2						2
								1 /2							/2
где - 2	n	,		2	n		- квантили						распределения 2					с n степенями
1 /2				/2
		1		n					2
свободы, Dx				xi		mx				.
свободы, Dx				xi		mx				.
			n i 1

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

Пример 9. В таблице представлены 12 значений веса транзисторов некоторого типа. Найти доверительный интервал для оценки генеральной дисперсии веса транзисторов данного типа, если генеральное математическое

ожидание известно и равно mx 10,95. Указание: полагать, что генеральная совокупность нормальная, использовать доверительную

вероятность:						А.)	p 0,95				Б)		p 0,99 .

	1				2	3			4	5			6	7		8		9		10	11	12
	11		10,7			11		11,1		11		10,8			11,2	10,9		11,3		11	10,9	11,1
Решение.
			1		n			2
	Dx				xi	mx			0,027 ;					n 12.
	Dx				xi	mx			0,027 ;					n 12.
				n i 1
А.)		p 0,95;				0,05 ;				2			11 21,92				;	2	11 3,82			;
											0,975							0,025
Искомый доверительный интервал:														x2 0,015; 0,086						;
Б.) p 0,99 ;						0,01;					2		11 26,76				;	2	11 2,6 ;
											0,995							0,005

Искомый доверительный интервал: x2 0,012; 0,127 .

2.5.Интервальное оценивание отношения дисперсий для

неизвестных математических ожиданий

Постановка задачи. Пусть x1 , x2 , x3 ,..., xn1 , x1 , x2 , x3 ,..., xn2 -

выборки

из

нормально

распределенных

генеральных

совокупностей

N m1, 1

N m2 , 2

Найти

доверительный

интервал

для

отношения

дисперсий

или

, при условии, что средние оцениваются величиной

xi ,

дисперсия

генеральной

совокупности

i 1

оценивается величинами s12

xi x 2 ,

s22

1 i 1

а доверительная вероятность равна

p 1 .

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

Решение: (в соответствии с теоремой 4)

	s2	/ 2			имеет распределение Фишера F n1 1,n2
Статистика	1	1
Статистика	s2	/ 2
	s2	/ 2
	2	2
											2		2
Тогда		P F /2							s1			/ 1		F1 /2 p 1 .
Тогда		P F /2							2			2		F1 /2 p 1 .
										s2		/ 2
Далее анализируем неравенство
												s2	2
							F					1		2				F			.
							F	/2										F			.
								/2				s2	2						1 /2
												s2	2
												2		1
Откуда получим
					s2								2				s2
					2		F						2				2		F		,
					s2		F										s2		F		,
					s2		/2						2				s2		1 /2
				1									1				1
Заметим, что
					s	2					2							s	2
				1								1					1			.
			s2 F								2									.
			s2 F								2				s	2 F
				2		/2						2			2 1 /2

1 .

(25)

Или в другой форме

(26)

s2 F

где - F

n 1, n 1

, F

n 1,n

- квантили

распределения

1 /2

x 2 .

Фишера,

квадратных скобках квантилей

1 i 1

указаны числа степеней свободы.

Пример 10. В двух таблицах представлены 12 значений веса транзисторов некоторого типа в первой выборке и 12 значений веса транзисторов того же типа во второй выборке. Найти доверительный интервал для оценки отношения генеральных дисперсий веса транзисторов данного типа, если генеральное математические ожидания не известны. Указание: полагать, что

генеральные совокупности нормальные, использовать доверительную вероятность: p 0,95.

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

1 выборка

	1						2			3	4	5				6				7									8	9	10	11		12
	11						10,7			11	11,1	11			10,8					11,2							10,9			11,3	11	10,9		11,1
															2 выборка

		1					2			3	4	5				6						7							8	9	10	11		12
		10,6					10,7			11	11,1	11			10,8							11,1							10,9	11,3	11		10,7		11
Решение.
					1		12													1		12
					1		12							x12						1		12							2 121,025 г2
		x1						xi		11 г ;														xi								;
		x1						xi		11 г ;														xi								;
					12 i 1														12 i 1
															2						n				D*				0,027 г2
		D*	x2 x 2							0,025 г2 ;			s		2						n										;
		D*	x2 x 2							0,025 г2 ;			s																		;
		x1										1							n 1								x
																			n 1
					1		12													1		12
					1		12									2				1		12						2 119,57 г2 ;
		x2						xi	10,93 г ;				x2			2						xi
		x2						xi	10,93 г ;				x2									xi
					12 i 1														12 i 1
																			n
		D*		x2 x 2						0,037 г2 ;		s 2							n					D*			0,04 г2 ;
		D*		x2 x 2						0,037 г2 ;		s 2												D*			0,04 г2 ;
		x2										1						n 1								x
																		n 1
		F				11,11 21,92 ;						F					11,11 3,82 ;
		0,975										0,025
Искомый доверительный интервал:																		122x					0,19;							2,33 .
																				2 x
																				2 x

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

2.6.Интервальное оценивание отношения дисперсий для известных

			математических ожиданий
Постановка задачи.			Пусть x1 , x2 , x3 ,..., xn1 , x1 , x2 , x3 ,..., xn2 -
выборки	из	нормально	распределенных генеральных	совокупностей
N m1, 1	,	N m2 , 2 . Найти доверительный интервал		для отношения

дисперсий 1 , при условии, что генеральные математические ожидания

известны - mx1 , mx2 ,а дисперсия генеральной совокупности оценивается

mx1 2 ,

mx 2 2

величинами Dx1

Dx 2

n1 i 1

i 1

доверительная вероятность равна p 1 .

Решение: (в соответствии с теоремой 5)

/ 2

имеет распределение Фишера F n1, n2 . Тогда

Статистика

/ 2

x 2

P F /2

Dx1 / 1

F1 /2

p 1 .

Dx2 / 2

Далее анализируем неравенство

1 /2

Откуда получим

x 2

(26)

1 /2

F / 2 n1,n2 ,

где

F1 / 2 n1,n2

квантили распределения Фишера,

mxi 2 .

Dxi

i 1

Заметим, что

1 /2

Или в другой форме

x 2

(27)

1 /2

Лекция 2. Математическая статистика. Стаценко И.В.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024649.46 Кб3Л1-матстат.pdf
#
16.05.2024501.59 Кб2Л1-ТВ.pdf
#
16.05.20241.11 Mб3Л2-матстат.pdf
#
16.05.2024451.07 Кб2Л2-ТВ.pdf
#
16.05.2024829.51 Кб3Л3-матстат.pdf
#
16.05.2024394.41 Кб2Л3-ТВ.pdf
#
16.05.20241.09 Mб3Л4 - матстат.pdf
#
16.05.2024453.96 Кб2Л4-ТВ.pdf