![](/user_photo/91653_YtWm7.jpg)
ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 15
.pdf![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j1x1.jpg)
1
Лекция 15. Физический смысл дивергенции векторного поля. Физический смысл ротора векторного поля. Операторы Гамильтона и Лапласа. Обозначения курса ВМ-1
Лекция 15
1. Физический смысл дивергенции векторного поля
Рассмотрим объемную область пространства Oxyz , в каждой точке
M (x, y, z) которой, задано векторное поле |
|
|
|
|
|
||||||||
a M P M |
|
Q M |
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
j |
R(M )k . |
|
(1) |
|||||||||
Ранее для данного пространства была введена скалярная величина |
|
||||||||||||
diva M |
P M |
|
Q M |
|
R M |
, |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
y |
z |
|
|
которая была названа дивергенцией.
Получим далее инвариантное (не зависящее от системы координат) |
|||||||||||
определение |
дивергенции векторного |
поля |
a M . |
Для чего |
рассмотрим |
||||||
вычисление |
потока векторного |
поля |
|
a M через |
некоторую |
замкнутую |
|||||
кусочно-гладкую поверхность |
, расположенную |
в объемной области |
|||||||||
некоторого пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По теореме Остроградского-Гаусса |
|
|
|
|
|
||||||
|
a, n 0 d div a dv . |
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим к тройному интегралу теорему о среднем значении |
|
||||||||||
|
|
a, n 0 |
d div |
|
a |
|
M * |
V . |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где V - объем области , сосредоточенный внутри замкнутой поверхности ;
точка M * . Откуда получим
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j2x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
div |
|
|
a |
|
M * |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a, n 0 d . |
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее, перейдя к пределу при M , получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim div |
|
a |
|
M * |
|
div |
|
a |
|
M |
|
lim |
1 |
|
|
a, n 0 d . |
(6) |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M V |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1. |
Дивергенция |
векторного |
поля |
a M в |
точке M объемной |
||||||||||||||||||||||||
области |
некоторого |
|
|
пространства |
|
|
является |
пределом |
отношения |
потока |
|||||||||||||||||||
векторного поля через замкнутую поверхность, ограничивающую область |
, к |
||||||||||||||||||||||||||||
объему области при стягивании области в точку. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
дивергенция векторного поля a M есть объемная плотность |
||||||||||||||||||||||||||||
потока векторного поля в точке M (физический смысл дивергенции). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Точки |
области |
|
, |
|
|
в |
|
которых div a M 0, |
называют источниками |
векторного поля.
Точки области , в которых div a M 0 , называют стоками векторного поля.
2. Физический смысл ротора векторного поля
Рассмотрим |
инвариантное (не зависящее от системы |
координат) |
|
определение ротора |
rot a M |
векторного поля a M с непрерывными |
|
координатами, используя полученную раннее формулу Стокса |
|
||
|
a, dr rot a , n 0 d . |
(7) |
|
|
L |
|
|
Пусть - часть плоскости с единичным вектором нормали n 0 , “натянутая” на контур L . При этом обход контура для наблюдателя из конца вектора нормали происходит против часовой стрелки.
Используя теорему о среднем для интеграла в правой части формулы (7), получим
a, dr |
rot a , n 0 d S rot a M * , n 0 , |
(8) |
|
L |
|
|
|
где точка M * , S |
|
- площадь поверхности . |
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j3x1.jpg)
3
Тогда из (8) имеем
rot a M * , n 0 |
|
a, dr |
|||
|
L |
|
. |
||
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
Прn 0 rot a M * |
|
a, dr |
|
|
|
|
L |
. |
|||
|
|
S |
|||
|
|
|
|
|
Пусть далее d - диаметр контура L . Тогда при d 0 получим
|
|
|
|
|
|
|
M * |
|
|
|
|
a, dr |
|
||
lim |
Пр |
rot |
a |
lim |
L |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
d 0 |
|
n 0 |
|
|
|
|
d |
0 |
S |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда из (11) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прn 0 rot a M lim |
a, dr |
|
|
|
|||||||||
|
|
L |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
S |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9)
(10)
(11)
(12)
Таким образом, проекция ротора векторного поля на направление нормали к плоской поверхности, стягивающей контур L , не зависит от системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции векторного поля по контуру L , т.е. равна поверхностной плотности работы векторного поля по перемещению материальной частицы по контуру L (в этом состоит физический смысл ротора векторного поля).
Известно также другое физическое истолкование ротора векторного поля применительно к задачам кинематики (раздела физики, изучающего движение тел).
Рассмотрим движение абсолютно твердого тела. Поле линейной скорости |
||||
v M точек M данного тела для |
любого момента времени |
определяется |
||
формулой Эйлера |
|
|
|
|
v v0 |
|
|
, r , |
(13) |
w |
где
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j4x1.jpg)
4
v M ivx jvy kvz - вектор линейной скорости точки M ;
v0 M0 iv0 x jv0 y kv0 z - вектор линейной скорости точки M 0 ;
i x j y k z - вектор угловой скорости тела, проходящий через точку
M 0 ;
r r r0 x x0 i y y0 j z z0 k . см.рис.1.
z |
|
M 0 |
r0
O
x |
M
r
r |
y |
Рис.1.
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
||
|
|
, r |
x |
y |
z |
|
||||||
w |
||||||||||||
|
|
|
|
x - x0 |
y - y0 |
z - z0 |
|
i y z - z0 z y - y0 j x z - z0 z x - x0 k x y - y0 y x - x0 ;
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j5x1.jpg)
5
v0 x v M v0 w, r v0 yv0 z
|
y z - z0 z y - y0 |
|
|
|
|
|
x z - z0 z x - x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y - y0 y x - x0 |
|
|
|
|
|
|
i vox y z - z0 z y - y0
j voy x z - z0 z x - x0
k voz x y - y0 y x - x0 vx i vy j vz k .
Ротор поля линейной скорости твердого тела определяется далее
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rot |
|
|
|
|
|
|
2 |
i |
2 |
|
j 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
vx |
vy |
|
vz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ротор поля линейных скоростей твердого тела в любой точке данного тела равен удвоенной угловой скорости.
|
3. Оператор Гамильтона и оператор Лапласа |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение |
2. Символ |
i |
|
|
j |
|
k |
называется |
оператором |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|||||
Гамильтона “набла”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
ввести обозначения: |
|
|
u u x, y, z |
- |
скалярное поле, |
||||||||||||||||
a M P M |
|
Q M |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
j |
R(M )k - векторное поле, |
заданные в объемной |
|||||||||||||||||||
области пространства Oxyz . |
С |
|
|
использованием оператора |
Гамильтона |
формализуют все известные операторы векторного анализа следующим образом:
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j6x1.jpg)
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k grad u ; |
|||||||||||
u |
|
|
i |
|
|
j |
|
k u |
|
i |
|
j |
|
||||||||||
x |
y |
z |
x |
y |
z |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u, l ux cos uy cos uz cos ul ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где l cos |
i |
cos |
j |
cos k ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
, a |
P |
Q |
|
R |
div a ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|||||||||
|
|
|
|
, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot a . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
R |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14)
(15)
(16)
(17)
Определение 3. Оператор вида div grad u , u называется оператором Лапласа скалярной функции u u x, y, z и обозначается в виде
u div grad u , u |
2u |
|
2u |
|
2u |
|
x2 |
y2 |
z2 . |
(18) |
4. Обозначения курса ВМ-1 (2 семестр)
b |
|
|
1. f x dx - определенный интеграл от функции |
f x |
на отрезке a,b . |
a |
|
|
b
2. f x dx F (x) ba
a
F b F a - формула Ньютона-Лейбница.
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
7
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
f x dx , |
|
f x dx , |
|
|
f |
x dx |
|
|
- |
несобственные интегралы на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечном отрезке интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
|
f |
|
x |
|
|
dx lim |
|
f |
|
x |
|
|
dx |
lim |
|
|
|
|
f |
|
x |
|
|
dx |
- |
несобственный интеграл с |
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
бесконечным разрывом у функции f x внутри отрезка интегрирования. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
f |
|
x, y dxdy |
|
- |
двойной |
интеграл |
|
|
от |
функции |
f |
|
x, y |
|
|
по |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрируемой области DOxy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
f |
|
x, y dxdy |
|
dx |
|
|
f |
|
x, y |
|
|
dy |
- переход от двойного интеграла к |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
повторному по области DOxy , правильной в направлении Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
w y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
f |
|
x, y dxdy |
|
dy |
|
|
f |
|
x, y |
|
dx |
- переход от двойного интеграла к |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
v y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
повторному по области DOxy , правильной в направлении Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
f |
|
x, y dxdy |
|
f |
|
|
cos |
|
|
|
|
, sin |
|
|
d d |
- |
|
переход |
от |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
GO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
двойного интеграла в декартовых координатах к двойному в полярных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координатах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
|
f |
|
x, y, z dxdydz |
- |
|
тройной |
интеграл от |
функции |
f |
|
x, y, z |
|
по |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кубируемой области . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. f x, y, z dxdydz dxdy |
|
|
|
|
f x, y, z dz - переход от тройного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Doxy |
|
|
|
z1 x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграла к повторному по области , правильной в направлении Oz .
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j8x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||
11. |
|
f |
|
x, y, z dxdydz |
|
f |
|
cos( ), sin( ), z |
d d dz - переход |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
от тройного интеграла в декартовых координатах к тройному в |
||||||||
|
цилиндрических координатах. |
|
f x, y, z dxdydz
f r cos sin , r sin sin , r cos r 2 sin drd d
G
-переход от тройного интеграла в декартовых координатах к тройному в сферических координатах.
|
|
|
|
|
|
13. |
|
f |
|
x, y, z d - поверхностный интеграл по дифференциалу площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности от функции f x, y, z |
по поверхности . |
|
|
|
|
|
|
14. |
|
f |
|
x, y, z d - поверхностный интеграл по дифференциалу площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности от функции f x, y, z |
по замкнутой поверхности . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
||||||||||
15. |
|
f |
|
x, y, z d |
|
f |
|
x, y, z |
|
|
x, y |
|
|
1 z |
z dxdy - переход от |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
DOxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностного интеграла по дифференциалу площади поверхности по |
|||||||||||||||||||||||
|
поверхности к двойному по области DOxy . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
z z |
|
x, y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16. |
П |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy - переход от поверхностного |
||||||||||
|
|
DOxy |
|
|
|
cos |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграла по дифференциалу площади поверхности при вычислении потока векторного поля a по поверхности к двойному по области
где n o cos( ) |
|
cos |
|
cos |
|
|
|
|
grad z z x, y |
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
- вектор |
|||||||
|
|
grad z z x, y |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешней единичной нормали к поверхности : z z(x, y) . |
|
|
|
|||||||||
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа |
|
|
|
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j9x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. П |
|
d |
|
div |
|
a dxdydz - переход от поверхностного |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграла по дифференциалу площади поверхности при вычислении |
||||||||||||||||||||||
|
потока векторного поля |
a по замкнутой поверхности к тройному по |
|||||||||||||||||||||
|
области (теорема Остроградского-Гаусса), |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n o cos( ) |
|
cos |
|
cos |
|
|
|
|
grad z z x, y |
|
|
|
||||||||
|
где |
|
i |
j |
k |
|
|
- вектор |
|||||||||||||||
|
|
|
|
grad z z x, y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешней единичной нормали к поверхности : z z(x, y) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
f |
|
x, y, z dl |
- криволинейный интеграл по дифференциалу длины дуги |
L
от функции
f x, y, z по кривой L .
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. f (x, y, z)dl 1 |
f x t , y t , z t |
x t 2 |
y (t) 2 |
z t 2 dt - |
||
L |
t0 |
|
|
|
|
|
переход от криволинейного интеграла по дифференциалу длины дуги от |
|||||
функции |
f x, y, z |
по |
кривой |
L к определенному на отрезке |
|
t t0 ,t1 для |
кривой |
L : |
x x(t); y y(t); z z(t),заданной |
параметрически.
20. P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz a, dr - криволинейный
L |
|
|
|
|
L |
|
|||
интеграл по дифференциалам координат (линейный интеграл) от |
|||||||||
|
|
a M P(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
векторного |
поля |
i |
Q(x, y, z) |
j |
R(x, y, z)k |
- |
|||
линейный интеграл по кривой L . |
|
||||||||
21. a, dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x t , y |
t , z t x t Q x t , y t , z t y t R x t , y t , z t z t dt |
||||||||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- переход от криволинейного интеграла по дифференциалам координат по |
|||||||||
кривой |
L |
к определенному на отрезке t t0 ,t1 для кривой |
|||||||
L : x x(t); |
y y(t); |
z z(t),заданной параметрически. |
|
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа
![](/html/91653/141/html_5jEF4iKL2V.96IW/htmlconvd-v75X1j10x1.jpg)
10
22. Ц a, dr - циркуляция векторного поля – линейный интеграл от
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a M P(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
||
векторного поля |
i |
Q(x, y, z) |
j |
R(x, y, z)k |
- |
||||
линейный интеграл по замкнутой кривой L (обход кривой против часовой |
|||||||||
стрелки). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
P |
|
|||
23. Ц P(x, y)dx Q(x, y)dy |
|
|
dxdy - формула Грина – |
||||||
L |
Doxy |
x |
|
|
y |
|
|
переход |
от |
|
|
|
|
|
линейного |
интеграла |
в |
плоском |
поле |
||||||||||||||||||||
|
a M P(x, y, z) |
|
|
|
|
Q(x, y, z) |
|
|
|
|
по замкнутой кривой L |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
i |
|
j |
к двойному |
|||||||||||||||||||||||||||
|
интегралу по области DOxy (обход кривой против часовой стрелки). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
24. Ц a, dr rot a , n o d |
- формула |
Стокса - |
переход от |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
линейного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграла |
|
в |
|
поле |
|||||||||||||
|
a M P(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по замкнутой кривой L |
|||||||||||||||||
|
i |
Q(x, y, z) |
j |
R(x, y, z)k |
||||||||||||||||||||||||||||
|
к поверхностному интегралу по поверхности (обход кривой против |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
часовой стрелки), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
rot a M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
, |
n o cos( )i |
cos j cos k - |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
y |
z |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор внешней единичной нормали к поверхности.
25. |
a , dr M M 0 - вычисление линейного интеграла в |
|||
M 0M |
|
|
|
|
|
|
|||
потенциальном поле, где a grad |
|
x, y, z |
. |
Рекомендуемая литература: Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум: Учебное пособие/Под общ. Ред. И.М. Петрушко. 2-е изд. испр.– СПб: Издательство “Лань”, 2007. – 320 с.
Стаценко И.В. Лекция 15. Дивергенция. Ротор. Операторы Гамильтона и Лапласа