Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

430.88 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 11. Вычисление потока векторного поля для поверхности , заданной неявно. Вычисление потока векторного поля для поверхности, заданной в криволинейных координатах. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность с использованием теоремы Остроградского-Гаусса.

Лекция 11

Поток векторного поля (продолжение)

1. Вычисление потока векторного поля для поверхности , заданной неявно

Пусть поверхность задана неявно уравнением

F x, y, z 0.

(1)

В этом случае единичный вектор нормали к поверхности находят по формуле

n 0

x i

y j

grad F

x, y, z

(2)

grad F

x, y, z

F 2

Для определения знака

вектора единичной нормали

n 0 используется

следующее правило:

-определяют область проекции поверхности на одну из плоскостей Oxy ,

Oxz , Oyz .

- в зависимости от выбранной области Doxy , Doyz , Doxz определяют величину угла, соответственно, , , (тупой угол или острый) между вектором нормали

n 0 к поверхности и положительным направлением соответствующей оси Oz ,

Oy , Ox .

Если угол острый, то в формуле (2) берется знак плюс; если данный угол тупой, то берется знак минус.

Далее, учитывая, что

cos

;

cos

;

cos

grad F

grad

grad F

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

находят поток векторного поля по одной из формул


	a, n 0
	a, n 0
П			dxdy ;
	cos

D
Oxy		z z ( x, y)



	a, n 0
П			dxdz ;
	cos

D
Oxz		y y ( x,z )

a, n

dydz .

cos

Oyz

x x( y,z )

Пример 1. Найти поток векторного поля a xi

yj zk

через часть

поверхности сферы x2 y2 z2

1для условия 0 z 1 (нормаль внешняя).

Решение:

Рассмотрим

уравнение

полусферы

виде

F (x, y, z) x2

y2 z2 1 0 , для 0 z 1.

Спроектируем поверхность полусферы на плоскость Oxy . Тогда

n 0

yj zk

, так как

острый угол (см. рис.1).

x2 y2 z2

n 0

x	Рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

Тогда
								cos							z				;




													x2 y2				z2
				x2			y2 z2						x2 y2				z2						1


П										z						dxdy											dxdy

																					1	x		2	y	2
	D																			D	1	x			y
		Oxy										z2 1 x2 y2								Oxy


			1								2				1							1			1		d 1 2
			1							dxdy				d						d					1
										dxdy				d						d
	1		x		2	y			2							1		2					1			2
DOxy	1		x			y					0				0	1						0	1

2 1 2 1 2 .

2.Вычисление потока векторного поля для поверхности , заданной

в криволинейных координатах

Пусть поверхность задана параметрически

u,v Gouv .

r u,v x u,v

y u,v

z u,v k ,

(3)

В этом случае единичный вектор нормали к поверхности находят по формуле

ru , rv

(4)

, rv

Тогда

a, n 0

d ,

(5)

a, ru , rv

ru , rv

d .

(6)

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

Знак (+) перед интегралом будем использовать для внешней поверхности, знак (-) для внутренней нормали.

Ранее получено

d ru , rv dudv .

Тогда
	a, ru , rv					u	v
						u	v
П			d		a,	r , r dudv.
		ru , rv		G
				ouv

где

нормали к

(7)

(8)

ru , rv

(9)

Пример 2.

Найти поток векторного поля

a xi

yj zk

через всю

поверхность

сферы

x2 y2

(нормаль

внешняя),

используя

криволинейные координаты.

Решение:

Уравнение

cos

sin

i sin

sin

cos

k ,

0 2 , 0

параметрически задает поверхность сферы радиусом

единица.

Тогда

r , r

-sin

sin( )

cos

sin( )

cos cos( )

sin cos( )

-sin( )

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

cos( )sin2

sin( )sin2

sin

cos( )

k ;

Учитывая то обстоятельство, что нормаль внешняя, необходимо

проверить знак вектора

cos( )sin2

sin( )sin2

sin

cos( )

k .

Для условия 0

0 ,

( sin

sin

cos 0)

и внешней нормали все компоненты вектора

должны быть

положительны (см. рис. 1), поэтому далее используем следующий вектор нормали:

N cos( )sin2 i sin( )sin2 j sin cos( ) k .

Далее имеем для

a xi yj zk cos sin i sin sin j cos k ,

a, ru , rv cos2 ( )sin3 sin2 ( )sin3 sin cos2

sin3 sin cos2 sin ;

a, r , r d d

sin

d d

sin

d d

sin

d 4 .

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

3.Вычисление потока векторного поля для замкнутой поверхности

сиспользованием теоремы Остроградского Гаусса

Вдекартовой системе координат Oxyz рассмотрим замкнутую поверхность и векторное поле в виде

a P x,

y, z

Q x, y, z

R x, y, z k .

(10)

Пусть

точке

M x, y, z пространства

Oxyz

функции

P x, y, z ,

Q x, y, z , R x, y, z

непрерывны

вместе

со

своими

первыми

частными производными.

Определение 1.

Дивергенцией

векторного

поля a

точке M x, y, z

называется скалярная величина, обозначаемая символом

div a M ,

и равная

div a M

P M

Q M

R M

(11)

Пример

Найти

div a , , ,

если

a sin(x)i

cos y

sin z k .

Решение:

div a x, y, z cos(x) sin( y) cos(z) ;

div a , , 2 .


Теорема	1.	(Теорема	Остроградского-Гаусса) Если в					некоторой	объемной
области	G пространства Oxyz координаты P x, y, z ,							Q x, y, z ,	R x, y, z

векторного		поля	a P x, y, z	i	Q x, y, z	j	R x, y, z k непрерывны

вместе со своими первыми частными производными, то поток векторного поля a через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность , расположенную в области G , равен тройному интегралу от дивергенции вектора a по объемной области , ограниченной поверхностью , т.е.

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

a, n 0

divadv

divadxdydz ,

(12)

где n 0

cos( ),

cos( )

- единичный вектор внешней нормали к

поверхности .

В формуле (12) необходимо обратить внимание на специальный знак двойного интеграла, обозначающий вычисление поверхностного интеграла по замкнутой поверхности.

Доказательство:

Представим формулу (12) в виде

a, n 0 d			P cos( ) Q cos R cos( ) d

	P	Q		R
	x	y		dxdydz .
	x	y		z

Используя свойство аддитивности поверхностного и тройного интегралов, можно по отдельности доказать следующие тождества:


		P cos( ) d			P dxdydz ;	(13)
			x
Q cos( ) d				Q dxdydz ;		(14)

					y
	R cos( ) d			R dxdydz .		(15)

				z

Ограничимся доказательством только формулы (15). Для этого рассмотрим замкнутую поверхность, представленную на рис. 2.

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

z

n01

n03

	n02
	2

Doxy

Рис.2.

Пусть вся поверхность состоит из трех частей 1, 2 , 3 . Каждая

часть по отдельности – гладкая поверхность. При этом поверхности 1 ,					2
задаются в	явном	виде	функциями, соответственно, z1 z1 x, y ;
z2 z2 x, y , таким		образом,	что	x, y Doxy z1 x, y z2 x, y .	А
поверхность	3 - цилиндрическая.

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

Тогда

z1 x, y

dz R x, y, z

dxdydz

dxdy

x, y

oxy

R x, y, z1 x, y dxdy R x, y, z2 x, y dxdy.

Doxy

Всвою очередь,

R cos( ) d R x, y, z1 x, y dxdy ,

D oxy

dxdy

так как на поверхности 1	cos 0 и	d	dxdy	см. рис.2;
			cos

R cos( ) d

x, y, z

x, y

dxdy

D oxy

так как на поверхности 2

cos

и d

dxdy

см. рис.2;

cos

R cos( ) d 0 ,

так как на поверхности 3

cos 0

см. рис.2.

Тогда

R cos( ) d

R x, y, z1 x, y dxdy R x, y, z2 x, y dxdy.

Doxy

Для случая

R cos( ) d

R dxdydz

теорема доказана.

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)


Пример 4.	Найти поток векторного поля												a xi yj zk через всю
поверхность сферы			x2 y2 z2			1		(нормаль				внешняя), используя теорему
Остроградского-Гаусса.
Решение:
								2					1
П divadv 3dv 3 d d r2 sin dr
								0			0		0
				1

	6		d		r2 sin		dr 2			sin			d 4 .
		0		0					0

Пример 5. Найти поток векторного поля a yi xj zk через часть

незамкнутой поверхности параболоида z x2 y2 для условия 0 z 1 (нормаль внешняя), используя теорему Остроградского-Гаусса.

Решение:

Используем свойство аддитивности потока:

П П 1 П 2 ,

где

- боковая поверхность параболоида;1 - замкнутая поверхность параболоида;

2 - круговая часть плоскости z 1, замыкающая поверхность параболоида.

Тогда

diva P Q R y x z 1;x y z x y z

Стаценко И.В. Лекция 11. Поток векторного поля (продолжение)

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024472.48 Кб2Лекция 1.pdf
#
16.05.2024458.2 Кб5Лекция 10.pdf
#
16.05.2024430.88 Кб4Лекция 11.pdf
#
16.05.2024449.15 Кб3Лекция 12.pdf
#
16.05.2024456.02 Кб2Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб2Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб2Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб4Лекция 2.pdf