ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 7
.pdf
11
Область G получена с учетом того, что
x2 y2 z2 r2 sin2 sin2 r2 cos2 sin2 r2 cos2 r2
|
|
0 r 2 |
|
|
|
|
и для |
|
1 |
|
0 r 1 |
получим следующий повторный интеграл в |
|
сферических координатах
x2 |
y2 z2 dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
d r4dr 2 sin d |
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
2 |
1 |
|
|
|
|
d r 2dr 2 r 2 sin d . |
|||||
0 |
0 |
0 |
|
||
2 |
1 |
|
2 |
|
|
d r 4dr |
|
. |
|||
5 |
|||||
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|||
Замечание 1. В качестве сферических координат также используют следующий вариант отображения переменных:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x r cos |
|
|
cos |
|
, |
r 0 , |
0 2 , |
, |
(23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y r sin |
|
cos |
|
, |
|
|
|
|
|
(24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z r sin |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
|
z |
z
M r, ,
r
y
x
y |
x
Рис.4.
Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл
12
Для отображения (23-25) якобиан вычисляется по формуле
|
|
x |
x |
|
x |
||
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
J r, , |
|
y |
y |
|
y |
||
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
z |
z |
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
-r sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
-rcos |
|
|
|
sin |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin |
|
|
|
cos |
|
rcos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
-r sin |
|
|
|
sin |
|
|
||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
rcos( ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 cos sin2 |
|
-sin( ) |
-cos( ) |
|
r cos3 |
( ) |
|
cos( ) |
-rsin( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cos( ) |
-sin( ) |
|
|
sin( ) |
rcos( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 cos sin2 r2 cos3 ( ) r2 cos .
Тогда формула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к cферическим при отображении (23-25) имеет вид
f x, y, z dxdydz f x r, , , y r, , , z r, , r 2 cos drd d
|
G |
|
(26) |
Рекомендуемая литература: Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум: Учебное пособие/Под общ. Ред. И.М. Петрушко. 2-е изд. испр.– СПб: Издательство “Лань”, 2007. – 320 с.
Стаценко И.В. Лекция 7. Тройной интеграл