ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 1

b

f x

dx b a .

a

Откуда следует, что a,b

f .

Геометрический

смысл теоремы

о среднем: Пусть

f (x)

непрерывна

и

неотрицательна

на отрезке a,b , тогда на данном отрезке найдется точка

,

такая что

b

Sтр f x dx f b a Sпр ,

(11)

a

b

где Sтр f x dx - площадь криволинейной трапеции,

ограниченной сверху

a

функцией f (x) , а снизу основанием в виде отрезка a,b ;

Sпр f b a

- площадь прямоугольника с основанием в виде отрезка

a,b и высотой

f

.

x

Ф x f (x)dx .

(12)

a

Функция Ф x называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b , то

функция

Ф x

d

x

a

f (x)dx

f (x).

(13)

dx

Ф x lim

Ф x x Ф(x)

;

(14)

x 0

x

x x

x

x x

a

Ф x x Ф(x)

f (x)dx f (x)dx

f (x)dx f (x)dx

a

a

a

x

a

x x

x x

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx .

x

a

x

x x

Т.е.

Ф x x Ф(x)

f (x)dx .

x

По теореме о среднем

x, x x :

x x

Ф x x Ф(x)

f (x)dx f

x .

(15)

x

Подставив (15) в (14) получим

Ф x lim

f x

lim f f x .

(16)

x

x 0

x 0

Ф x

d

x

Таким образом,

f (x)dx

f (x).

dx

a

x

Следствие 3.

Из (13) следует, что Ф x f (x)dx -

одна из первообразных

a

функции f (x)

на

отрезке

a,b ,

так как

Ф x f (x) .

То

есть

Ф x F (x) C ,

где F (x) какая-нибудь другая производная функции

f (x) .

5. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке

a,b , а

F (x) - какая-

нибудь первообразная для

f (x) на этом отрезке,

то

справедлива формула

Ньютона-Лейбница

b

f x dx F b F a .

(17)

a

Доказательство:

x

Из теоремы 2 известно, что

Ф x f (x)dx . Кроме того,

следствие из

a

данной теоремы утверждает,

что F (x) C Ф x ,

где F (x)

какая-нибудь

другая производная функции

f (x) . Тогда

x

Ф x F (x) C f (x)dx .

(18)

a

Подставив в формулу (18) x a , получим

a

Ф a F (a) C f (x)dx 0 .

(19)

a

Из (19) следует, что C F (a) .

Таким образом,

x

f (x)dx F x F a .

(20)

a

Подставив в формулу (20) x b, получим формулу Ньютона-Лейбница

b

f (x)dx F b F a .

(21)

b

f (x)dx F x ba .

(21)