![](/user_photo/91653_YtWm7.jpg)
ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 1
.pdf1
Курс ВМ-1
(2 семестр)
(16 лекций)
Темы:
1.Определенный интеграл.
2.Кратный интеграл.
3.Элементы теории поля
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
![](/html/91653/141/html_V7ol1k7nme.Se7i/htmlconvd-B5UW7H2x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 1. |
Площадь криволинейной |
трапеции. Определенный интеграл. |
|
Свойства |
|||||||||
определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула |
|||||||||||||
Ньютона-Лейбница. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Лекция 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определенный интеграл |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1. |
Площадь криволинейной трапеции |
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим |
функцию f (x) , |
заданную |
на |
отрезке |
a,b . |
Пусть |
|||||||
x a,b |
f (x) 0 . Разобьем отрезок a,b на n отрезков точками |
|
|
||||||||||
|
|
|
x0 a x1 x2 x3 ... xn 1 xn |
b . |
|
|
|
|
(1) |
||||
Введем обозначения полученных отрезков |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xk xk xk 1 , |
k 1, 2,3,..., n. |
|
|
|
|
(2) |
||||
Внутри каждого отрезка выберем точку k , |
k 1, 2,3,..., n, |
проведем |
|||||||||||
высоту f k |
и |
построим прямоугольники с основаниями |
xk |
и высотами |
|||||||||
f k см. рис 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x0 |
1 |
x1 2 x2 |
3 |
x3 |
4 x4 |
......... |
xn 1 |
n |
xn |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
рис.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Найдем площадь |
Sф ступенчатой |
фигуры, |
составленной из |
||
прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Sф xk f |
k . |
(3) |
||
|
|
k 1 |
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
max xk , |
k 1,2,3,..., n. |
(4) |
|||
|
k |
|
|
|
|
Далее найдем величину |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
S lim |
xk f |
k . |
(5) |
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что данный предел есть предельная величина площади ступенчатой фигуры при стремлении к нулю длин отрезков разбиения исходного отрезка
a,b . Данная предельная величина есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f (x) , и с основанием равным длине отрезка a,b .
Пример 1. |
Найти площадь криволинейной трапеции под графиком функции |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) 3 1 x2 |
|
на отрезке |
|
a,b |
|
|
|
1,1 , используя формулу (3) для n 10 c |
||||||||||||
постоянным шагом k xk |
h |
k 1,2,3,...,10 |
и выбором точек k в центре |
|||||||||||||||||
каждого частичного отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Определяем шаг интегрирования h |
b a |
|
|
2 |
. |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
10 |
|
||
2. |
Определяем координаты точек k |
|
по формулам |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
h |
; |
|
|
|
|
|
h ; i 2,3, 4,...,10 . |
|||||||
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим |
|
0,9; |
-0,7; |
-0,5; |
-0,3; |
-0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9 |
||||||||||||||
3. |
Вычисляем интегральную сумму по формуле |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sф h f k . |
|
|
|
k 1
Sф 0,2 0,57 1,53 2,25 2,73 2,97 2,97 2,73 2,25 1,53 0,57 4,02.
Точный результат в данном случае S 4.
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
![](/html/91653/141/html_V7ol1k7nme.Se7i/htmlconvd-B5UW7H4x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
0.8 |
|
0.6 |
0.4 |
|
0.2 |
|
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.2. |
|
|
|
|
||
Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции под графиком функции |
|||||||||||||||
f (x) 3 |
1 x2 |
|
на отрезке |
|
a,b |
|
|
|
1,1 , используя формулу (3) |
для n 100 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c постоянным шагом |
k xk h |
k 1,2,3,...,100 |
и выбором точек k в |
||||||||||||
центре каждого частичного отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
2 100
Sф 100 k 1 f k 4,0002 .
2.Определенный интеграл
Рассмотрим функцию |
f (x) , |
заданную на отрезке |
a,b . Разобьем |
отрезок a,b на n отрезков точками |
|
|
|
x0 a x1 x2 x3 ... xn 1 xn b . |
(6) |
||
Введем обозначения полученных отрезков |
|
||
xk xk |
xk 1 , |
k 1, 2,3,..., n. |
(7) |
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
5 |
|
|
Внутри каждого отрезка выберем точку k , k 1, 2,3,..., n. |
|
|
Пусть |
|
|
max xk , |
k 1,2,3,..., n. |
(8) |
k |
|
|
Составим сумму |
|
|
n |
|
|
S xk |
f k . |
(9) |
k 1 |
|
|
Данная сумма называется интегральной суммой для функции |
f (x) на |
отрезке a,b .
Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм (9) при0, не зависящий от способа разбиения отрезка a,b на части и от выбора
точек k , то этот предел называется определенным интегралом от функции |
||||||||
f (x) на отрезке a,b и обозначается в виде |
|
|
|
|
|
|||
b |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx lim |
x f |
|
|
k |
. |
(10) |
|
0 |
|
k |
|
|
|
|||
a |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Если определенный интеграл в виде (10) существует, то функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке a,b .
(Понятие определенного интеграла в виде (10) принадлежит немецкому математику Бернхарду Риману, 1826-1866).
Теорема 1. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1.Функция f (x) непрерывна на отрезке a,b .
2.Функция f (x) ограничена на отрезке a,b и имеет на данном отрезке конечное число точек разрыва.
3.Функция f (x) монотонна на отрезке a,b .
То функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке a,b .
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
![](/html/91653/141/html_V7ol1k7nme.Se7i/htmlconvd-B5UW7H6x1.jpg)
6
|
|
|
3. |
Свойства определенного интеграла |
|
|
|
||||||||||||||
Пусть функция |
f (x) интегрируема на отрезке |
a,b . |
Тогда справедливы |
||||||||||||||||||
следующие свойства определенного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
f (x)dx f (x)dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
f (x)dx lim n |
|
|
|
|
|
lim n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
x f |
|
|
i |
|
x f |
|
|
k |
|
|
f (x)dx , |
т.к. |
|||||||
|
|
0 |
|
i |
|
0 |
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||
|
b |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
i |
xi |
xi xi 1 0 , |
x0 b , |
xn a . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx b a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
0 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство: |
|
|
|
|
1dx lim |
n x |
b a . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
(Линейность) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функции |
f1 (x) и |
|
f2 (x) |
интегрируемы на отрезке |
a,b , а |
||||||||||||||||
с1,с2 const . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
с1 f1 x c2 f2 (x) dx c1 f1 |
x dx c2 f2 x dx . |
|
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Доказательство: |
Так как функции |
f1 (x) и |
f2 (x) |
|
интегрируемы на отрезке |
||||||||||||||||
a,b , |
то для каждой функции по отдельности |
|
получим |
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
b |
|
c1 f1 (x)dx lim xk c1 f1 k c1 lim |
xk f1 k c1 f1 (x)dx ; |
||||||||||||||||||||
a |
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
7
b |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
f2 (x)dx lim xk c2 |
f2 k c2 lim xk f2 |
k |
c2 f2 (x)dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a |
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из существования пределов |
с1 lim xk f1 k |
|
и |
с2 lim xk f2 k |
по |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
свойствам пределов следует и существование предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim с |
n |
x f |
|
|
k |
с |
n x f |
2 |
|
|
|
с lim |
n |
x |
f |
|
|
k |
с lim |
n |
x |
f |
2 |
|
|
. |
|||||
1 |
|
k 1 |
|
2 |
|
k |
|
|
k |
1 |
|
|
k |
1 |
|
|
2 |
|
|
k |
|
|
k |
||||||||
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
В сокращенной записи получим:
lim n с f с f x
1 1 k 2 2 k k 0 k 1
Откуда следует, что
b
с1 f1 x c2 f2 (x) dx
a
|
с |
lim |
n |
x f |
|
|
k |
с lim |
n |
x f |
2 |
|
. |
|
|
1 |
0 |
|
k 1 |
|
2 |
0 |
|
k |
|
k |
|||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
b |
b |
|
c1 f1 |
x dx c2 f2 |
x dx . |
a |
a |
|
Следствие 1. |
Пусть функции |
f1 (x) , f2 (x) , … , |
fn (x) интегрируемы на |
||||
отрезке a,b , а |
с1,с2 ,...,cn const . Тогда |
|
|||||
|
b |
|
n |
|
n |
b |
|
|
|
|
ci |
fi (x) dx ci fi x dx |
. |
||
|
a |
i 1 |
|
i 1 |
a |
|
5. |
(Аддитивность) |
|
|
|
Пусть отрезок a,b разбивается на два отрезка: a,c и с,b , |
a c b. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
b |
с |
b |
|
|
f x |
dx f x dx f x dx . |
|
|
|
a |
a |
с |
|
Следствие 2. |
Для любых чисел: |
c1 ,c2 ,c3 справедлива формула |
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
8
|
с2 |
с3 |
|
с2 |
|
|
f x dx f x dx f |
x dx . |
|||
|
с1 |
с1 |
|
с3 |
|
Доказательство: |
Для случая |
|
c1 c3 |
c2 |
см. свойство 5. |
Для других случаев, допустим, что c1 c2 c3 , тогда по свойству 5
|
с3 |
с2 |
с3 |
|
|
|
f x dx f |
x dx f |
x dx . |
|
|
|
с1 |
с1 |
с2 |
|
|
Откуда получим |
|
|
|
|
|
с2 |
с3 |
с3 |
с3 |
с2 |
|
f |
x dx f |
x dx f x dx |
f x dx |
f x dx . |
|
с1 |
с1 |
с2 |
с1 |
с3 |
|
Допустим, что |
c3 c1 c2 , тогда по свойству 5 |
|
|
||
|
с2 |
с1 |
с2 |
|
|
|
f |
x dx f x dx f x dx . |
|
||
|
с3 |
с3 |
с1 |
|
|
Откуда получим |
|
|
|
|
|
с2 |
с2 |
с1 |
с3 |
с2 |
|
f x dx f x dx f x dx f |
x dx f |
x dx . |
|||
с1 |
с3 |
с3 |
с1 |
с3 |
|
6.(Оценка знака 1)
Пусть x a,b , |
a b |
f (x) 0 . Тогда |
|
|
b |
|
|
f (x)dx 0 . |
|
|
a |
7.(Оценка знака 2)
Пусть x a,b , |
a b |
f (x) 0 . Тогда |
|
|
b |
|
|
f (x)dx 0 . |
a
8.(Интеграл от нечетной функции на отрезке a, a )
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
9
Пусть f x f x . Тогда
a
f (x)dx 0 .
a
9.(Интеграл от четной функции на отрезке a, a )
Пусть f x f x . Тогда
a a
f (x)dx 2 f (x)dx .
a |
0 |
10.(Оценка модуля)
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке a,b |
a b . Тогда |
||||||||
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x)dx |
|
dx . |
|
||||
|
|
|
f (x) |
|
|||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
11. (Оценка снизу и сверху) |
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть x a,b |
m f (x) M , |
|
m, M const . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
m b a f |
x dx M b a . |
|
|||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия x a,b |
m f (x) M следует, что |
|
|||||||
|
b |
b |
|
|
|
b |
|
||
|
mdx f x dx Mdx . |
|
|||||||
|
a |
a |
|
|
|
a |
|
||
Откуда по свойству 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
m dx f x dx M dx . |
|
|||||||
|
a |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
Откуда по свойству 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
m b a f x dx M b a .
a
12.(Оценка в среднем)
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.
|
|
10 |
Пусть x a,b |
m f (x) M , |
m, M const . |
Тогда m, M , m M : |
|
b
f x dx b a .
a
Доказательство: Из доказанного неравенства:
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
m b a f x dx M b a , |
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
|
||
|
|
|
m |
a |
|
M . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
m, M , |
|
||||
Пусть |
a |
|
, тогда |
m M : |
|||
|
|
||||||
|
|
b a |
|
|
|
b
f x dx b a .
a
13.(Теорема о среднем)
Если функция f (x) непрерывна на отрезке |
a,b , то на данном отрезке |
|||
найдется точка |
, такая что |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
f x dx f b a . |
|||
|
a |
|
|
|
Доказательство: |
по теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, |
|||
достигает на данном отрезке своего наименьшего |
m и наибольшего значения |
|||
M , т.е. |
|
|
|
|
|
x a,b |
m f (x) M , |
m, M const . |
Стаценко И.В. Лекция 1. Определенный интеграл.