ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 14

1. Рациональные дроби

Определение 1. (Рациональная дробь)

Функция f (x) вида

f (x) =

Pm (x)

,

(1)

Qn (x)

где

Pm (x) = am xm + am−1xm−1 + am−2 xm−2 + ... + a1x + a0 ,

(2)

Qn (x) = bn xn + bn−1xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1x + b0 ,

(3)

Pm

(x) - многочлен степени m c действительными коэффициентами;

Qn

(x) - многочлен степени n c действительными коэффициентами.

−

x3

x2 +1

x3 + x

1

x

−x

Q2 (x) = b2 x2 + b1x + b0 .

(4)

Корни трехчлена найдем по формуле:

−b + b 2 − 4b b

−b − b 2

− 4b b

x =

1

1

2

0

;

x =

1

1

2

0

.

(5)

1

2b2

2

2b2

В случае D 0

корни x1, x2

образуют, так называемую действительную пару

корней квадратного трехчлена.

В случае, если D = b 2

− 4b b

0

0 запишем дискриминант в виде

D = i2

D

,

1

2

где

i2 = −1,

(6)

−b + i

b 2 − 4b b

0

−b − i

b 2

− 4b b

0

x1 =

1

1

2

;

x2 =

1

1

2

.

2b2

2b2

В случае

D 0

корни x1, x2

называют комплексными и они образуют, так

называемую комплексно-сопряженную пару корней квадратного трехчлена.

Пример 2.

Найти корни квадратного трехчлена

x2 + 6x +10 .

Решение:

−6 + i2 4

x

=

−6 + −4

=

=

−6 + i 4

= −3

+ i ;

1

2

2

2

−6 − i2 4

x

=

−6 − −4

=

=

−6 − i 4

= −3

− i .

2

2

2

2

b2 x2 + b1 x + b0 = b2 (x − x1 )(x − x2 ),

(7)

2.2. Разложение многочлена n степени на множители

Рассмотрим многочлен n - ой степени

Qn (x) = bn xn + bn−1xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1x + b0 ,

(8)

Qn (x) = bn (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )...(x − xn ) ,

(9)

-

n

пар только действительных или только комплексно-сопряженных

2

корней;

-

n1

пар действительных и

n2

пар комплексно-сопряженных корней, где

2

2

Qn (x) = (x − x *)Wn−1 (x),

(9)

f (x) =

Pm (x)

=

Qn (x)

=

Pm (x)

,

bn (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn1 )(x2 + p1x + q1 )(x2 + p2 x + q2 )... x2

+ pn2

x + qn2

2

2

где n = n + n ,

x R,

j 1, n ,

D = p

2 − 4q 0,

i

1,

n2

.

1

2

j

1

i

i

i

2

Теорема 1.

Рассмотрим правильную

(m n) рациональную дробь.

Если все

Pm (x)

A

+

A

+

A

An

) +

Qn (x) =

(x − x1 )

(x − x2 )

(x − x3 )

+... + (x − xn1

1

2

3

1

B1x + C1

B2 x + C2

Bn x + Cn

2

2

2

2

+

+

+... +

,

(10)

(x2 + p1 x + q1 )

(x2 + p 2 x + q2 )

2

+ p n

x + qn

x

2

2

2

2

A

,

B ,

C − const

,

j 1, n

,

i

1,

n2

.

j

i

i

1

2

Теорема 2.

Рассмотрим правильную

(m n) рациональную дробь.

Если

какой-либо

действительный корень x* или

комплексно-сопряженная

пара

x2 + p

*

x + q знаменателя кратности k , то к разложению простых корней (10)

*

добавляются следующие разложения кратных корней

Случай кратного действительного корня x* :

Pm (x)

D

D

D

D

=W +

1

2

3

+... +

k

+

+

Qn−k (x)(x − x* )k

(x − x* )

(x − x* )2

(x − x* )3

(x − x* )k

(11)

Случай кратной комплексно-сопряженной пары x2 + p

*

x + q :

*

Pm

(x)

U

x +V

U

2

x +V

= W +

1

1

+

2

+ ...

Qn−2k (x)(x2 + p* x + q* )k

(x2 + p* x + q* )1

(x2 + p* x + q* )2

... +

Uk x +Vk

.

(12)

(x2 + p* x + q* )k

где

W - разложение вида (10) для всех простых корней данной дроби,

D ,

U

i

,

V − const ,

i 1, k

.

i

i

Пример 7.

Разложить на простейшие дробь

x2

, после чего найти

x2 + 5x + 6

x2

dx .

x2 + 5x + 6

Решение:

x2

=1−

5x + 6

.

x2 + 5x + 6

x2 + 5x + 6

5x + 6

5x + 6

A

B

Ax + 3A + Bx + 2B

.

=

=

+

=

x2 + 5x + 6

(x + 2)(x + 3)

x + 2

x + 3

(x + 2)(x + 3)

x2

x2

1

1

2x +1

=

=

+

.

x3 −1

(x −1)(x2 + x

+1)

3

x −1

(x2 + x +1)

Тогда