ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 12

минус и x0

3

xmax

3

1

,

fmax

f

f (x)

4 .

2

3

3

2

1

2

2

2

f (x)

2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2 2 x 1 2 x 2 2x 3

4

x

2

4

x 1

2 x 1 x 2

2x 3 2x 3

2

3x

9x 7 .

2

x 1 3

x 2 3

x 1 3 x 2 3

3x2 9x 7

f (x) нет, так как у

2

0

точек перегиба у функции

x 1 3 x 2 3

двучлена 3x2 9x 7 нет действительных корней.

3x2 9x 7

, 2 - функция

2

0 на интервале

f (x) вогнутая;

x 1 3 x 2 3

3x2 9x 7

f (x) выпуклая;

2

0 на интервале

x 1 3 x 2 3

2,

1 - функция

3x2 9x 7

1, - функция

f (x) вогнутая.

2

0 на интервале

x 1 3 x 2 3

f(x)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Пример 4.

Провести полное исследование функции f (x) 3

x3 1 .

13

2.

Функция f (x) является функцией общего вида ( не является четной или

нечетной). Функция f (x) не является периодической.

3.

Пересечение с осью Ox в точке x 1. Пересечение с осью

Oy в точке

y 1.

4.

Точек разрыва функции нет.

5.

Вертикальных асимптот нет.

6.

Исследуем поведение функции в бесконечности: lim f (x) и

lim f (x) .

x

x

lim 3

lim 3

x3 1 ;

x3 1 .

x

x

3

x3 1

1

3 x3 1

1

k lim

lim

3 1

1;

k

2

lim

lim

3 1

1

3

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

1

b lim 3

x3 1 x lim

0 ;

1

x

x

x3 1

2

x 3

x3 1 x2

3

1

b lim 3

x3 1 x lim

0 .

2

x

x

3 x3 1

2

x 3

x3 1 x2

f (x) 3

1

3x2

x2

x3 1

0 x01 0 ;

x02 1.

2

2

3

3

x

3

3

x

3

1

1

lim

f (x) lim

x2

0;

lim f (x) lim

x

2

0 .

2

2

x 0 0

x 0 0

x 0 0

x 0 0

x3

3

x3 1

3

1

В точке x01 0 экстремума нет.

lim

f (x) lim

x2

0

;

lim

f (x) lim

x2

0 .

x 1 0

x 1 0 3

x3

2

x 1 0

x 1 0

x3

2

1

3

1

2

3x4

2x 3

x3

1

2

x

2

3

3

x3

1

2x

0

f (x)

3

2

3

4

3

5

3

3

3

x

1

x

1

x

1

xП1 0;

xП 2 1.

lim f (x)

lim

2x

0

;

lim

f (x)

lim

2x

0 .

x 0 0

x 0 0 3

x3 1 5

x 0 0

x 0 0

3

x3 1 5

В точке

xП1 0 имеет

место

перегиб

графика

с

выпуклого

положения

на

вогнутое.

lim f (x)

lim

2x

0 ;

lim

f (x)

lim

2x

0 .

x3

x3

x 1 0

x 1 0

3

1

5

x 1 0

x 1 0

3

1

5

В точке xП 2

1 имеет

место

перегиб

графика с

вогнутого

положения

на

выпуклое.

3

1.8

0.6

f(x)

5

4

3

2

1 0.6

0

1

2

3

4

5