Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

483.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

f ( x)

10	5	0	5	10
		x

Рис.7.

Определение 3. Точки, в которых функция определена и производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Теорема 5. (Достаточное условие экстремума по первой производной)

	1.	Пусть функция		f (x) непрерывна некоторой O x0 .
		Пусть в O x0		0
	2.			или O x0 у f (x) существует первая производная
			f (x) .
Тогда,
-	если				x0	(слева направо)	меняет знак с
			f (x) при переходе через точку
	плюса на минус, то			x0 xmax ;
-	если				x0	(слева направо)	меняет знак с
			f (x) при переходе через точку
	минуса на плюс, то			x0 xmin ;
-	если				(слева направо) не меняет знак то
			f (x) при переходе через точку x0

в точке x0 экстремума нет.

(без доказательства).

Стаценко И.В. Лекция 11. Математический анализ.

Теорема 6.			(Достаточное условие экстремума по второй производной)
	1.	Пусть функция f (x) непрерывна некоторой O x0 .
	2.	Пусть в O x0		f (x) как минимум дважды дифференцируема.
Тогда
-	если		f (x0 ) 0 , а	f (x0 ) 0	то	x0	xmax ;
-	если		f (x0 ) 0 , а	f (x0 ) 0	то	x0	xmin .

Доказательство:
Введем новую функцию g(x) f (x) .
Если	g(x0 ) f (x0 ) 0, а g (x0 )	f (x0 ) 0 ,		то	функция	g(x) в
некоторой	O x0 монотонно убывает, при чем		при переходе через			точку
x0 меняет знак с плюса на минус. Следовательно, x0			xmax .
Если	g(x0 ) f (x0 ) 0, а g (x0 )	f (x0 ) 0 ,		то	функция	g(x) в
некоторой O x0 монотонно возрастает, при		чем	при переходе через			точку
x0 меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, x0			xmin .


Пример 2.
Дано f (x) cos2 x .			Исследовать функцию на экстремум в точке x0 0.
Решение:

f (0) sin 2x	x 0 0 .


f (0) 2cos 2x		x 0	2 .
				0 arg max cos2 0 .
Следовательно, xmax 0 или

Стаценко И.В. Лекция 11. Математический анализ.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция f (x) непрерывна на a,b . По теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке a,b , достигает на этом отрезке своего

наибольшего и наименьшего значения.

Введем следующие обозначения точек, в которых достигается наибольшее и наименьшее значение функции и соответствующих значений

функции:
xнаиб arg fнаиб ,	(31)
xнаим arg fнаим .	(32)
Методика поиска наибольшего и наименьшего значений функции на
отрезке предусматривает следующие пункты:
1. Найти все критические точки функции f (x) на интервале a,b :
x01, x02 , x03 ,..., x0n ,	(33)

2.Вычислить значения функции во всех критических точках, попавших в интервал a,b , и на концах отрезка:

, f

,..., f

, f

(34)

3.Из множества значений функции (34) выбрать наибольшее и наименьшее значение:

наиб

max

, f

,..., f

, f

(35)

наим

min

, f

,..., f

, f

(36)

4.Найти соответствующие аргументы, в которых получены наибольшее и наименьшее значение функции:

xнаиб	arg fнаиб ,	(37)
xнаим	arg fнаим .	(38)

Стаценко И.В. Лекция 11. Математический анализ.

Пример 3.

Найти экстремумы функции f x x 1x , а также наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке x 0,5; 2 .

Решение.

1.Находим первую производную функции: (проверяем необходимые условия экстремума)

fx 1 x12 .

2.Находим стационарные точки из условия:

	1	1	0	x 1,	x 1.

		x2		01	02

3.	Находим точки, в которых производная не существует:
			x03 0 .
(так	как в точке x03 0 функция			f x x		1	не определена, исключаем

						x

данную точку из списка критических)

4. Формируем список критических точек:

x01, x02 1, 1 .

5.Проверяем достаточные условия экстремума в критических точках по второй производной:

2 0

x 1 arg max

;

max

2 ,

x 1

2 0

1 arg min

;

2 .

min

x 1

Стаценко И.В. Лекция 11. Математический анализ.

							15
Для вычисления наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке
x 0,5; 2		составляем		список значений							функции				в	критических точках,
попавших в отрезок, и на концах отрезка:
			f 1 , f	0,5 , f 2					2,		5 ,	5	.
											2
											2	2
Выбираем наибольшее и наименьшее значение функции и соответствующие им
аргументы:
				fнаиб				5			5		5
				fнаиб	max	2,			2	,			2	;
									2		2		2
				fнаим					5		5
				fнаим	min	2,			2	,		2 .
									2		2
				xнаиб1 0,5 arg fнаиб ;
				xнаиб 2 2 arg fнаиб ;
				xнаим 1 arg fнаим .
График функции			f x x 1		представлен на рис. 8.
				x
					5
					4
					3
					2
					1
f ( x)	5	4	3	2	1		0			1		2			3	4	5
	5	4	3	2	1		0			1		2			3	4	5
					1
					2
					3
					4
					5
						x
																	Рис.8.
Стаценко И.В. Лекция 11. Математический анализ.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024655.94 Кб2Лекция 1.pdf
#
16.05.2024484.06 Кб3Лекция 10.pdf
#
16.05.2024483.36 Кб1Лекция 11.pdf
#
16.05.2024477.32 Кб1Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб1Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб1Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб1Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб1Лекция 16.pdf