ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 9

12

Разложение функции

f (x) по формуле Тейлора по степеням

x x0 также называют разложением функции

по

формуле Тейлора в

окрестности точки x0 .

Пример 3. Разложить функцию f (x) x3 4x2

5

по степеням (x 1) ,

используя первые 2-е производные в многочлене Тейлора.

Решение:

Требуется получить разложение функции f (x) x3

4x2 5 в окрестности

точки x0

1.

Найдем

значение функции

и первые две

производные функции

f (x) x3 4x2 5 в точке x

1. Третью производную будем использовать

0

в остаточном члене формулы Тейлора.

f (1)

x3 4x2

x 1

5

10;

f (1)

3x2

8x

x 1

11;

f (1)

6x 8

x 1

14 ;

Пример 4. Разложить функцию

,

f (x) sin(x) по степеням x

4

в точке

x . Четвертую производную будем использовать в остаточном

0

4

члене формулы Тейлора.

sin x

2

f

;

4

2

4

cos x

2

f

;

4

2

4

sin x

2

f

;

4

2

4

cos x

2

f

;

4

2

4

2

3

sin

4

2

2

2

2

sin(x)

x

x

x

x

,

2

2

4

2 2!

4

2 3!

4

4!

4

где

, x .

4