ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 7

th( x)

sh x

sh x

th(x) ,

(26)

ch x

ch x

cth( x)

ch x

ch x

cth(x) .

(27)

sh x

sh x

То есть гиперболический тангенс и котангенс функции нечетные, при

этом функция cth(x) не определена в нуле.

Найдем пределы функций в бесконечности:

lim th(x)

ex

e x

lim

1,

(28)

x

e

x

x

x e

lim th(x)

ex e x

lim

e x ex

1,

lim

(29)

x

e

x

x

e

x

x

x e

x e

lim cth(x)

ex

e x

lim

1,

(30)

x

e

x

x

x e

lim cth(x)

ex e x

lim

e x ex

1.

lim

(31)

x

e

x

x

e

x

x

x e

x e

То есть у гиперболического тангенса и котангенса одинаковые

горизонтальные асимптоты в -

линии у 1 и у 1.

th(x y)

th(x) th( y)

.

(32)

1 th(x)th( y)

cth(x y)

1 cth x cth( y)

.

(33)

cth(x) cth( y)

у arsh(x) ,

у arch(x) ,

у arth(x) ,

у arcth(x) .

Функции называются, соответственно, ареасинус, ареакосинус,

ареатангенс, ареакотангенс.

Производные данных функций равны:

arsh (x)

1

,

(36)

1

x2

arch (x)

1

,

(37)

x2 1

arth (x)

1

,

(38)

x2

1

arcth (x)

1

.

(39)

x2

1

Докажем справедливость формул (36-37).

Пусть функция, обратная ареасинусу

y arsh(x) есть

x sh( y) ,

тогда

1

1

1

1

arsh (x)

.

(40)

sh y

ch y

1 sh2 y

1 x2

При доказательстве использовалось тождество сh2 ( y) sh2 y 1.

Пусть функция, обратная ареакосинусу

y arсh(x)

на некотором

участке монотонности функции есть x сh( y) , тогда

1

1

1

1

arсh (x)

.

(41)

сh y

sh y

ch2 y 1

x2 1

Докажем далее справедливость формул (38-39).

Пусть функция, обратная ареатангенсу

y arth(x) есть x th( y), тогда

1

ch2 y

1

1

arth (x)

.

(42)

th y

1 th2

y

1 x2

1

sh2 y

1

1

arcth (x)

.

(43)

cth y

1 cth2 y

1 x2

14

Таблица 1

1.

x x 1 ,

x D, где D R область определения

степенной функции,

R , 0.

2.

ax ax ln a ,

a 0,

x R .

3.

ex ex ,

x R .

4.

cos(x) ,

x R .

sin(x)

5.

sin(x) ,

x R .

cos(x)

6.

loga (x)

1

,

a 0,

a 1,

x 0.

x ln a

7.

ln(x)

1

,

x 0.

x

tg(x)

1

,

x D, где D R область определения

8.

cos2 x

функции tg(x) .

ctg(x)

1

,

x D, где D R область определения

9.

sin2

x

функции ctg(x) .

arcsin(x)

1

,

x D, где D R область определения

10.

1

x2

функции arcsin(x) .

arccos(x)

1

,

x D,

где D R область

11.

1

x2

определения функции arccos(x) .

1

arctg(x)

, x D, где D R область определения

12.

1 x2

функции arctg(x) .

arc ctg(x)

1

,

x D, где D R область

13.

1 x2

определения функции arcctg(x) .

14.

ch

x ,

x R .

sh(x)

15.

sh

x ,

x R .

ch(x)

16.

th(x)

1

,

x R .

ch2 x

cth(x)

1

,

x D, где D R область определения

17.

sh2 x

функции cth(x) .

18.

arsh(x)

1

,

x R .

1 x2

arch(x)

1

,

x D, где D R область

19.

x2 1

определения функции arch(x) .

20.

arth(x)

1

,

x R ,

x 0.

1 x2

21.

arcth(x)

1

,

x R ,

x 0.

1 x2