ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 6
.pdf
11
|
|
cos(x) |
|
f (x) |
f (x) sin(x) ln sin(x) |
||
sin x |
|||
|
|
cos(x) .
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
sin(x)cos( x) sin(x)ln |
|
sin(x) |
|
ctg(x)cos(x) , |
x : sin(x) 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
7. Инвариантность формы первого дифференциала
Рассмотрим сложную функцию f u(x) , определенную в O x0 .
Теорема 5. Пусть функция f u дифференцируема в точке u0 u x0 , а
функция u(x) дифференцируема в точке x0 , тогда сложная функция f u(x)
дифференцируема в точке x0 и справедлива следующая формула для первого дифференциала сложной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
d f |
|
u |
|
x |
|
|
x x |
|
f |
|
u |
|
x |
|
|
|
dx |
f |
|
u |
|
u |
x |
|
dx f |
|
u |
|
du . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36) |
Замечание 5. |
|
|
Так как первый дифференциал для функции одной переменной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
x |
|
|
|
точке x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
в |
|
|
имеет |
|
вид d f |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
dx , |
|
а |
первый |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f u(x) |
|
|
|
|
|
|
u x0 имеет вид |
|||||||||
дифференциал для сложной функции |
в точке u0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d f |
|
|
u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
du |
|
можно |
|
сказать, |
|
что |
|
формы |
|
первых |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциалов для функции одной переменной и сложной функции имеют похожий вид (инвариантны).
|
3 |
|
в точке x0 2, используя производную |
Пример 9. Найти d sin x |
|
|
сложной функции и свойство инвариантности первого дифференциала.
Решение:
Первый способ (с использованием производной сложной функции)
Стаценко И.В. Лекция 6. Математический анализ.
12
|
3 |
|
|
|
3x |
2 |
cos x |
3 |
|
|
|
d sin x |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x 2 dx 12cos 8 dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ (с использованием свойства инвариантности)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u 8 |
|
|
|
|
|
|
|
u 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x 2 |
||||||
d sin |
|
u |
|
|
|
|
cos |
|
u |
|
|
|
|
du |
cos |
|
8 |
|
du |
cos |
|
8 |
|
d |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cos |
8 |
3x2 |
|
x 2 |
dx 12cos |
8 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стаценко И.В. Лекция 6. Математический анализ.