Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

464.85 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 5. Производная функции. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Необходимое условие существования производной. Теорема о производных суммы, произведения и частного.

		Лекция 5
	ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
	1.	Понятие производной
Рассмотрим функцию		f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) .
Зададим аргументу функции приращение					x x x0 .		При этом		функция
получит соответствующее приращение f				f x f x0 .
Замечание 1.	Величину	x	x x	будем		называть		положительным
			0
приращением функции в точке x0 , если x x0 .
Замечание 2.	Величину	x x x			будем	называть		отрицательным
				0
приращением функции в точке x0 ,			если x x0 .
Замечание 3.	Величину x x x0 будем называть приращением функции в
точке x0 , если x x0 или x x0 .
Определение 1. Конечный предел отношения приращения функции										f к
приращению	аргумента	x	данной		функции		в	точке	x0	при

x 0называется			производной функции в			точке	x0 и	обозначается
следующим образом:
f x0 lim		f	lim	f x f x0	lim	f x0 x f x0			.	(1)
		x		x x			x
x 0			x 0		x 0
				0
Замечание 4.	Величину x будем называть приращением функции									в точке
x , если из	точки		x R совершается		положительное		или	отрицательное
приращение в точку x x R .

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

							2
Замечание	5.	Величину				f		f x x f x будем			называть
приращением функции			в точке x , соответствующем приращению аргумента
x в точке x .
Определение 2.		Конечный предел отношения приращения функции f к
приращению аргумента			x		данной функции в точке x					при	x 0
называется	производной функции					в		точке x и обозначается следующим
образом:
		f x lim		f	lim			f x x f x	.		(2)
		f x lim			lim				.		(2)
			x 0	x	x 0			x
Пример 1.	Найти производную функции f (x) x2 в точке x									1, используя

определение производной (1).

Решение.

	2				2 12
x		lim	1	x	2 12
x		lim		x	lim
		x 0		x	x 0
		x 1
		x 1

Пример 2. Найти производную функции определение производной (2).

Решение.

2 x x 2		lim 2 x 2 .
x
		x 0

f (x) x2	в точке x R , используя

lim

x x 2 x2

lim

2x x x 2

lim

2x x

2x .

x 0

Пример 3.

Найти

производную функции

f (x) sin(x)

в точке x0 0,

используя определение производной (1).

Решение.

sin(x)

lim

sin 0 x sin(0)

lim

sin( x)

x 0

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

Пример 4.

Найти производную функции

f (x) sin(x)

точке

x R ,

используя определение производной (2).

Решение.

2x x

sin

x x sin(x)

2sin

cos

sin(x) lim

lim

x 0

sin

2x x

lim

cos x .

lim cos

x 0

В решении использовалась формула тригонометрии:

sin x sin y 2sin

x y

cos

Пример 5.

Найти производную функции

f (x) ex

в точке x R , используя

определение производной (2).

Решение.

ex lim

ex x ex

lim

ex e x

lim

ex x

x 0

В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:

e x 1	(x) ,	при x x
		0
если	lim (x) 0.
	x x0
Пример 6. Найти производную функции		f (x) ln(x)	в точке x R ,	x 0,
используя определение производной (2).

Решение.

ln(x) lim	ln x x ln x	lim
	x
x 0		x 0

	x	ln x
ln x 1		ln x
	x
	x
	x

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

			4
		x	ln x			x
	ln x ln 1		ln x		ln 1		1
lim		x		lim		x	1	.
lim	x			lim	x		x	.
x 0	x			x 0	x		x
x 0				x 0

В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:

	ln 1 (x)	(x) , при x x0
	если	lim (x) 0.
		x x0
Пример 7. Найти производную		функции f (x) x	в	точке x D, где
D R область	определения степенной функции, R ,			0 используя

определение производной (2).

Решение.

x lim

x 0

x x

lim

x 0

lim

x 0

В решении использовалось следствие из второго замечательного предела:

1 (x) 1 (x) , при x x0

если lim (x) 0.

x x0

Приемы определения производных, проиллюстрированные в примерах 4-7, позволяют сформировать следующую таблицу производных элементарных функций (см. таблицу 1).

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

Таблица 1

x x 1 ,

x D, где

D R область

определения

степенной функции, R , 0.

ax ax ln a ,

a 0, x R .

ex ex ,

x R .

cos(x) ,

x R .

sin(x)

sin(x) ,

x R .

cos(x)

loga (x)

a 0,

a 1, x 0.

x ln a

ln(x)

x 0.

Определение 3.

Конечный предел отношения приращения функции f к

приращению аргумента

данной функции в точке

при x 0

называется правой производной функции в точке

и обозначается

следующим образом:

f x 0

lim

x x

(3)

x 0

Определение 4.

Конечный предел отношения приращения функции f к

приращению аргумента

данной функции в точке

при x 0

называется левой производной функции в точке x и обозначается следующим образом:

f x 0 lim

lim

x x

(4)

x 0

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

Замечание 6. Для того, чтобы существовала производная

f x необходимо

и достаточно, чтобы

f x 0 f x 0 c const .

в точке x0

Пример 8. Найти производную функции

f (x)

x0 0

Решение.

Функция

f (x)

окрестности

состоит из двух

элементарных функций, т.е.

x 0;

(5)

Найдем

x 0.

f 0 0 lim

f 0 x f 0

lim 0 x 0 1;

x 0

f 0 0 lim

0 x f

lim

0 x 0

x 0

Так как

f x 0 f x 0 производная f (x)

в точке x0 0 не

существует.

f (x) 3

Пример 9. Найти производную функции

в точке

Решение.

Найдем

3 0 x 2

3 02

0 0

lim

;

0 x

3 0 2

0 0 lim

lim

x 0

Так как

x 0

c c o n sf t x 0 c const

производная

f (x) 3

в точке

не существует.

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

2.Геометрический смысл производной

	Рассмотрим функцию	f (x) , определенную в окрестности О(x0 ) .
Зададим аргументу функции приращение			x x x x . При этом
			0
функция получит соответствующее приращение f f x f				x0 см. рис
1.	y
	y
			f x
f x0 x			M1
f x0 x
	f x0	M 0
	f x0
			x

		x0	x0 x
		Рис. 1.

Рассмотрим две точки на кривой графика функции f (x) - точки M 0 и M1 . Прямая линия, соединяющая данные две точки графика функции называется секущей.

Определение 5. Если при стремлении точки M1 к фиксированной точке M 0 секущая M0 M1 , независимо от закона приближения к точке M 0 , принимает некоторое предельное положение, то прямая являющейся данным предельным положением, называется касательной к графику функции f (x) в точке M 0 (или в точке x0 , так как координаты точки M0 x 0 , f x0 однозначно определяются через координаты точки x0 ).

Из рис. 1 видно, что тангенс угла наклона секущей M0 M1 -

tg	f	,	(6)
	x

а тангенс угла наклона касательной к графику функции			f (x) в точке M 0 -

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

tg lim

f .

(7)

x 0

Таким образом, производная функции f (x)

в точке x0

- f x0 lim

x 0

есть

тангенс

угла наклона

касательной

графику

функции в

точке

f x0

M0 . В этом состоит геометрический смысл производной.

Пусть касательная к графику функции

f (x)

в точке

задается

функцией вида:

(x) k1x b1 , тогда параметры касательной k,b

можно

найти по очевидным формулам:

k1 tg

lim

f f x0 ,

(8)

x 0

b1 f (x0 ) f x0 x0 .

(9)

Параметр

найден

при

подстановке

уравнение

(x) k1x b1 f (x0 )x b1

вместо точки

константы

x0 ,

вместо

(x0 )величины f (x0 ) .

Тогда уравнение касательной

(x) к графику функции

f (x)

в точке

x0 имеет вид

(x) f (x0 )x f x0 f (x0 )x0

f x0 f (x0 )(x x0 ) .

(10)

Определение 6.

Прямая (x) k2 x b2 называется нормалью

графику

функции в точке

x0 , если данная прямая перпендикулярна к касательной к

графику функции в той же точке.

Используя сведения из аналитической геометрии, в частности, о том,

что для перпендикулярных прямых k1k2 1, получим следующее уравнение нормали к графику функции в точке x0

		(x) f x0				1		(x	x0 ) .		(11)


						f (x )
							0
Замечание	7.	Если	в	точке		x0	определена			функция f (x) и
f (x0 ) с const , тогда			при		условии		f (x0 )			будем	полагать, что
касательная	к	f (x) в точке		x0	существует и				задается	уравнением x x0
(вертикальная		прямая), а		нормаль		задается			уравнением		x f (x0 )

(горизонтальная прямая).

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

Пример 10. Найти уравнение касательной и нормали в точке x0 для

функции f (x) sin(x) . Решение.

(x)

Пример 11.

функции f (x) Решение.


									2
sin		cos			x						x		4		1	;
sin		cos			x						x				1	;
4				4		4		2
			1													1
			1													1
sin	cos				x		4			2		x					.
sin	cos				x					2		x					.
4					4									4 2

Найти уравнение касательной и нормали в точке x0 0 для

3x2 .

Так как f (0) 0,	f (0 0) ;	f (0 0) , то уравнение
касательной для данной функции в точке x0		0 имеет вид: x 0 (ось Oy ), а

уравнение нормали x 0 (ось Ox ) см. рис.2.

		5	y
		5
4.642
		4
		3
f ( x)
		2
		1
0					x
0
10	5		0	5	10
10		рис.2.
10			x		10

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

3. Необходимое условие существования производной

Теорема 1.	Если функция			f (x) имеет производную в точке			x0 , то она
непрерывна в этой точке.
Доказательство: По определению производной см. формулу (1) имеем
	f x0 lim	f	lim		f x0 x f x0	.	(12)
		x			x
	x 0			x 0

При этом производная в точке x0 существует, если f x0 с const . Тогда

по теореме об асимптотическом разложении функции, имеющей конечный предел получим:

	f	f x0 x ,
	x
где	lim x 0 .
	x 0

Тогда

f f x0 x x x.

(13)

(14)

Из (14) следует, что из x 0 f 0 . Откуда следует, что функция f (x) непрерывна в точке x0 .

Замечание 2. Утверждение, обратное теореме 1 в общем случае неверно, так как не всякая непрерывная функция является дифференцируемой во всей своей области определения (см. примеры 8, 9)

Стаценко И.В. Лекция 5. Математический анализ.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024394.75 Кб1Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб1Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб1Лекция 2.pdf
#
16.05.2024466.92 Кб1Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб1Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб1Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб1Лекция 6.pdf
#
16.05.2024481.46 Кб1Лекция 7.pdf
#
16.05.2024486.68 Кб1Лекция 8.pdf
#
16.05.2024478.83 Кб1Лекция 9.pdf