ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 3
.pdf
11
Справедливость формулы (27) можно доказать следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
1 cos(x) |
|
|||
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
2lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда следует, что 1 cos(x) |
x2 |
|
|||
|
при x 0. |
||||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
sin3 x |
|
|||
Пример 10. Найти lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
x 0 |
1 cos(x) x |
||||
Решение: Используя формулы (23) и (27), проведем эквивалентные замены под знаком предела:
lim |
|
sin3 |
x |
|
|
lim |
|
|
|
x3 |
|
2. |
|
|||
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
||||||||
x 0 |
cos(x) |
x |
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x |
|||||||
Пример 11. |
Найти |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
x |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: Проведение эквивалентной замены по формуле (23) недопустимо, т.е.
sin x x |
|
x x |
|
||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
, |
|
x |
3 |
x |
3 |
||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
||
так как разность эквивалентных бесконечно малых (см. свойства бесконечно малых) это бесконечно малая высшего порядка по отношению к каждому слагаемому в разности.
Данная задача будет решена позже другими методами!!!
12
6. Следствия из второго замечательного предела
Свойства эквивалентных бесконечно малых позволяют получить следующие следствия из второго замечательного предела:
|
ln(1 x) |
x |
при x 0; |
(28) |
|||||
loga |
(1 x) |
|
x |
при x 0; |
(29) |
||||
|
|
|
|||||||
ln(a) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ex 1 |
x |
при x 0; |
(30) |
||||
ax 1 x ln(a) |
при x 0. |
(31) |
|||||||
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
||
1 x |
|
mx |
при x 0. |
(32) |
|||||
Справедливость формулы (28) следует из определения второго замечательного предела:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
lim 1 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
e |
ln lim 1 |
x x |
|
ln e lim ln 1 x x |
1; |
|
|||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ln 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
1 |
ln(1 x) |
x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее, используя свойства логарифмов, получим, что loga |
(x 1) |
ln x 1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||
ln(a) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда из эквивалентной замены ln(x 1) |
x следует формула (29) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
loga (x 1) |
|
ln |
|
|
|
x 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln(a) |
|
|
ln(a) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потенцируя формулу (28), получим |
|
eln(1 x) |
|
ex 1 x |
ex ex 1 x . |
|
|||||||||||||||||||||||
По аналогии получим (31-32). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
ln(1 3x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 12. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13
Решение:
|
ln(1 3x)2 |
|
|
u 3x, |
x |
u |
, |
|
ln(1 u) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
3 |
|
6lim |
|
|
|
|
||
x |
|
|
u |
||||||||||
x 0 |
|
|
|
если x 0, то u 0 |
u 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 u) |
|
u |
|
||||
6lim |
|
|
6lim |
|
|
6 . |
||
|
|
|||||||
u 0 |
|
u |
|
u 0 |
u |
|
||
|
e3x 1 |
|
Пример 13. Найти lim |
|
. |
x 0 ln(1 5x)
Решение:
|
|
e3x 1 |
|
|
|
|
|
u 5x, x |
u |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 ln(1 5x) |
|
|
|
если x 0, то u 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
u, |
u |
, |
|
|||||||||
lim |
e5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если u |
0, то t 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
e5 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
u 0 |
|
|
|
|
|
||
|
ln(1 |
u) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
et 1 |
|
|
3 |
|
t |
|
3 |
|
||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 u 0 |
t |
|
|
5 u 0 |
t |
|
5 |
|
|||||
7. Таблица эквивалентных замен
Пусть lim (x) 0, тогда справедливы следующие эквивалентные
x x0
замены:
|
sin( (x)) |
(x); |
(33) |
||||
arcsin( (x)) |
(x) ; |
(34) |
|||||
|
tg( (x)) |
(x); |
(35) |
||||
|
arctg( (x)) |
(x) ; |
(36) |
||||
1 cos( (x)) |
2 (x) |
; |
(37) |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
ln(1 (x)) |
(x) ; |
(38) |
||||
loga (1 (x)) |
(x) |
; |
(39) |
||||
|
|
|
|
ln(a) |
|
||
|
e ( x) 1 |
(x) ; |
(40) |
||||
|
a ( x) 1 |
(x) ln(a) ; |
(41) |
||||
|
m 1 |
|
|
|
|||
1 |
(x) |
m (x) . |
(42) |
||||