Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

339.63 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 2

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ

1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция (x) , определенная в O(x0 ) , называется

бесконечно малой при x x0 , если lim (x) 0 .

x x0

Сокращенная запись:

lim (x) 0 0 >0 : x (x0 ) (x) . (1)

x x0

Примеры бесконечно малых функций:

1. (x) x , при x 0,

т.е. lim x 0;
x 0
2. (x) x2 1,	при x 1 и	x 1,

т.е.	lim x2				1 0 ,		lim x2 1 0;
	x 1						x 1
3. (x)			1	,		при x ,

			x
		1				0 ,	1	0.
т.е.	lim						lim

	x x						x x

Определение 2. Функция (x) , определенная в O(x0 ) , называется

бесконечно большой при x x0 , если lim (x) .

x x0

Сокращенная запись:

lim (x) 0 >0 : x (x0 ) (x) . (2)

x x0

Примеры бесконечно больших функций:

1. (x) x ,

при x ,

т.е. lim

;

2. (x)

при x 0,

т.е. lim

, lim

;

x 0

3. (x)

при x 0,

т.е. lim 1 .2

x 0 x

Теорема 1. (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции)

	0
Если функция (x) , определенная в O(x0 ) , называется бесконечно малой
0				1
при x x0 и x (x) (x)	0 , то функция	(x)				является
при x x0 и x (x) (x)	0 , то функция	(x)		(x)		является
				(x)
бесконечно большой при x x0 .
Доказательство:
По определению бесконечно малой имеем:
	0
lim (x) 0 0 >0 : x (x0 )			(x)		.	(3)
x x0

Тогда

Пусть

0 >0 : x (x )								1		1 ,	т.к. x (x) (x) 0 .
					0						0
					0				(x)
					0

(x)	=	1	;		=	1	. Тогда
		1				1
		(x)
				1

	0	x		lim x .
1 0	>0 : x (x0 )	x	1	lim x .		(4)
				x x0
Таким образом,	x - бесконечно большая функция при				x x0 .

2. Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. (сумма и разность бесконечно малых)

		0
Пусть функции	1 (x) и 2 (x) , определенные в O(x0 ) , являются
бесконечно малыми при x x0 , тогда функции		1 (x) 1 x	2 x и
2 (x) 1 x 2 x	- бесконечно малые при	x x0 .

Доказательство:

По определению бесконечно малых имеем:

lim 1 (x) 0 0

1 >0 : x 01 (x0 )

1 (x)

(5)

x x0

2 >0 : x 02 (x0 )

lim 2 (x) 0 0

2 (x)

(6)

x x0

Пусть min 1, 2 ,

тогда

lim 1 (x) 0

lim 2 (x) 0

x x0

(7)

0 >0 : x (x0 )

1 (x)

2 (x)

Складывая отдельно левые и правые части неравенств, получим:

lim 1 (x) 0

x x0

0 >0

lim 2 (x) 0

x x0

0 (8)

: x (x0 ) 1 (x) 2 (x) 2 .

Так как для тех же условий можно записать:
	1 (x) 2 (x)				1 (x)		2 (x)			2 ,		(9)
	1 (x) 2 (x)				1 (x)		2 (x)			2 ,		(9)
		1 (x) 2 (x)				1 (x)		2 (x)			2 .	(10)
		1 (x) 2 (x)				1 (x)		2 (x)			2 .	(10)
То из (9) следует, что
			1 x	1 (x) 2 (x)					2 ,			(11)
			1 x	1 (x) 2 (x)					2 ,			(11)

4
	2 x	1 (x) 2 (x)	2 .		(12)

Из (8), (11) и (12) следует, что функции				1 (x) 1 x 2 x	и
2 (x) 1 x 2 x - бесконечно малые при				x x0 .

Свойство 2. (произведение бесконечно малой на ограниченную функцию)

Пусть функция (x) , определенная в O(x0 ) , является бесконечно

малой при x x0 , а функция f (x) - функция, ограниченная в O(x0 ) , тогда функция (x) x f (x) - бесконечно малая при x x0 .

Доказательство:

По определению бесконечно малых имеем:

lim (x) 0 0 >0 : x (x0 ) (x) . (13)

x x0

По определению ограниченной функции для той же окрестности имеем:

f (x)

ограничена в (x0 ) M >0 :

x (x0 )

f (x)

M .

(14)

Пусть

1 M . Данное число может быть сколь угодно малым, т.к.

любое сколь угодно малое число, а M const . Тогда,

перемножив левые и

правые части неравенств в (13) и (14) для тех же условий получим:

(x)

f (x)

f (x) (x)

M ,

(15)

f (x) (x)

1 .

(16)

Из (13), (14) и (16) следует, что

1 0 >0 : x (x0 )

(x)

1 .

(17)

Выражение (17) является определением функции

(x) x f (x) в

качестве бесконечно малой при x x0 .

Следствие из свойства 2. Произведение двух бесконечно малых функции при x x0 также бесконечно малая функция при x x0 (так как любая

бесконечно малая функция – ограничена в некоторой окрестности точки x0 ).

3. Теорема об асимптотическом разложении функции, имеющей конечный предел

Теорема 2. Для того, чтобы существовал предел lim f (x) a const

x x0

необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки x0	функцию
f (x) можно было представить в виде
f (x) a (x) ,	(18)

где функция (x) , определенная в O(x0 ) , является бесконечно малой при x x0 .

Доказательство (необходимости)
Пусть lim f (x) a const . Тогда
x x0
0
0 >0 : x (x0 )	f (x) a		.	(19)
Если ввести обозначение, что
f (x) a (x),				(20)
тогда
0
0 >0 : x (x0 )		(x)	.	(21)

Выражение (21) определяет функцию (x) f (x) a в качестве бесконечно малой при x x0 . Также из (20) следует, что f (x) a (x) .

Доказательство (достаточности)

Пусть f (x) a (x) , где функция (x) , определенная в O(x0 ) , является бесконечно малой при x x0 . Тогда

0
0 >0 : x (x0 )		(x)	.	(22)
Но f (x) a (x) .
Тогда
0
0 >0 : x (x0 )	f (x) a		.	(23)

Выражение (23) равносильно выражению lim f (x) a const .

x x0

4.Арифметические свойства пределов

Пусть функции f (x)

и g(x)

определены в некоторой окрестности

точки

x0 , за исключением

может

быть

самой

точки x0 . Тогда,

если

существуют

конечные

пределы:

lim

f( x) a const

x x0

lim g (x) b const , то справедливы следующие свойства:

x x0

lim c c const .

x x0

lim cf (x) c lim f (x) ca,

c const .

x x0

lim

f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b .

x x0

lim

f (x)g(x) lim f (x) lim g(x) ab .

x x0

f (x)

lim f (x)

lim

x x0

b 0.

lim g(x)

x x0

g(x)

x x0

Доказательство (свойства 1)

lim c c const 0 0 : x x0 c c . (24)

x x0

Выражение (24) выполняется для любого сколь угодно малого .

Доказательство (свойства 2)
Так как lim f (x) a,	a const , то по теореме об асимптотическом
x x0
разложении функции (см. необходимость):		f (x) a (x),	где
lim (x) 0. Тогда
x x0
сf (x) сa с (x) сa (x),		с const ,	(25)

где lim (x ) 0.

x x0

Из правой части выражения (25) по теореме об асимптотическом разложении функции (см. достаточность) следует, что

lim сf (x) сa,		с const .	(26)
x x0
Доказательство (свойства 3)
Так как lim f (x) a,	a const и	lim g(x) b,	b const , то по
x x0		x x0

теореме об асимптотическом разложении функции (см. необходимость):

f (x) a (x),	где lim (x) 0 ,	g(x) b (x) ,	где lim (x) 0 .
	x x0		x x0

Тогда

a (x) b (x) a b (x) ,

(27)

где lim (x ) 0.

x x0

Из правой части выражения (27) по теореме об асимптотическом разложении функции (см. достаточность) следует, что

lim f (x) g(x) a b.			(28)
x x0
Доказательство (свойства 4)
Так как lim f (x) a,	a const	и lim g(x) b,	b const , то по
x x0		x x0

теореме об асимптотическом разложении функции (см. необходимость):

f (x) a (x),	где lim (x) 0 ,	g(x) b (x) ,	где lim (x) 0 .
	x x0		x x0
Тогда
a (x) b (x) ab a (x) b (x) (x) (x) ,				(29)
ab a (x) b (x) (x) (x) ab 1(x) 2 (x) 3 (x) ,				(30)
	ab 1 (x) 2 (x) 3 (x) ab (x) ,			(31)

где lim (x ) 0.

x x0

Из правой части выражения (31) по теореме об асимптотическом разложении функции (см. достаточность) следует, что

			lim f (x)g(x) ab.							(32)
			x x0
Замечание	1. Если		в	свойствах (2-4)				lim f (x) ,		а
lim g(x) b, b - const ,								x x0
lim g(x) b, b - const ,			то
x x0
1.1. lim cf (x) c lim f (x) ,						c const .
x x0	x x0
1.2. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) b .
x x0		x x0			x x0
1.3. lim f (x)g(x) lim f (x) lim g(x) b .
x x0		x x0			x x0
Замечание 2.		lim f (x) и lim g (x) , то
Если в свойстве (3)		lim f (x) и lim g (x) , то
		x x0				x x0
2.1.в пределе lim f (x) g(x) lim f (x)							lim g(x) ;
	x x0				x x0		x x0
Если в свойстве (3)		lim f (x) и lim g (x) , то
		x x0				x x0
2.2.в пределе lim f (x) g(x) lim f (x)							lim g(x) ;
	x x0				x x0		x x0
Если в свойстве (3)		lim f (x) и lim g (x) , то
		x x0				x x0
2.3.в пределе	lim f (x) g(x)				lim f (x) lim g(x) имеет
	x x0				x x0		x x0
место неопределенность вида				.
Замечание 3. Если в свойстве (4)					lim f (x) , а lim g(x) b 0, то
					x x0			x x0
в пределе lim f (x)g(x) имеет место неопределенность вида									0 .
x x0
Замечание 4. Если в свойстве (5)					lim f (x) , а lim g(x) , то
					x x0			x x0

f (x)

впределе lim имеет место неопределенность вида

x0 g(x)x

Замечание 5. Если в свойстве (5) lim f (x) 0, а			lim g(x) 0, то
		x x0	x x0
в пределе lim	f (x)			0
		имеет место неопределенность вида			.

x x0	g(x)			0

5. Примеры использования свойств бесконечно малых функций и арифметических свойств пределов

3x2 5x 4

Пример 1. Найти lim

6x 2

x 0

Решение:

5x 4

lim 3x

5x 4

lim

x 0

6x 2

lim

6x 2

x 0

lim 3x2 lim 5x lim

0 0 4

lim x

2 lim 6x

lim

0 0 2

x 0

Пример 2. Найти lim

3x2

5x 4

6x 2

Решение:

5x 4

lim

5x 4

lim

так как пределы в числителе и

6x 2

lim x

знаменателе не являются

конечными.

данном случае имеет место

неопределенность

вида

Для снятия неопределенности разделим

числитель и знаменатель на x2 . В результате получим:

lim

5x 4

lim

6x 2

lim 1


	5		4
lim 3 lim		lim			3 0 0
lim 3 lim		lim		2
x	x x	x x				3.
	6	2			1 0 0	3.
lim 1 lim		lim
lim 1 lim		lim		2
x	x x	x x

Пример 3. Найти lim

x 1

x 1 0

x 1

Решение:

x 1

lim x 1

lim

x 1 0

,так как предел в знаменателе равен нулю.

lim

x 1

x 1 0

Имеет место неопределенность вида . Для снятия неопределенности

выделим и сократим общий сомножитель в числителе и знаменателе.

x 1

x 1 2.

lim

x 1 0

x 1

x 1 0

x 1

x 1 0

Пример 4.

Найти lim

x 1 0 x 1

Решение:

lim x2

lim

x 1 0

так

как

предел в

знаменателе равен нулю.

lim x 1

x 1 0 x 1

x 1 0

Преобразуем частное двух функций в произведение:

lim

x 1 0 x 1

x 1 0

x 1

Так как lim

, а

lim

x 1 0

x 1

x 1 0

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024477.32 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб0Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024466.92 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024481.46 Кб0Лекция 7.pdf