ВМ 1 семетр / Лекции / Лекция 1
.pdf
11
Пример 2. Дано f (x) x - целая часть числа. Найти lim f (x) см. рис. 9.
x 1
3
2
f(x)
1
y
x
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем для |
любого |
закона |
|
приближения |
к точке |
|
x0 1 |
слева |
||||||||||||
a lim x 0 |
и справа a lim x 1. То есть lim x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 1 0 |
|
|
|
x 1 0 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 3. |
Дано f (x) |
1 |
. |
Найти lim |
f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть закон приближения к точке x0 |
xn n . |
Приближение |
||||||||||||||||||
начнем с точки x1 1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
… |
|
|
||||
|
xn |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
… |
|
|
||||
|
f (xn ) |
1 |
0,5 |
|
0,33 |
|
0,25 |
|
0,2 |
|
|
|
… |
|
|
|||||
Получим для данного закона приближения к точке x0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
lim |
0. |
|||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
Любой другой закон приближения к точке x0 для данной функции дает
lim 1 0
ответ: . См. рис 10.
x x
12
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.267 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
10 |
Рис. 10.
13
6. Свойства конечного предела функции в точке
Свойство 1. (Единственность предела)
Если существует конечный предел функции f (x) в точке x0 , то он
единственный. |
|
|
|
|
Сокращенная запись: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) a const |
b const : b a, |
b lim f (x). |
||
x x0 |
|
|
|
x x0 |
Доказательство: (от противного)
Пусть существует два различных конечных предела функции f (x) в точке x0 . Тогда выполняются совместно два условия:
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
lim f (x) a const |
0 |
1 |
0 : x 1(x0 ) |
|
f (x) a |
|
|
, |
x x0 |
|
|
0 : x 02 (x0 ) |
|
|
|
|
|
lim f (x) b const |
0 |
2 |
|
f (x) b |
|
. |
||
|
|
|||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем величину min 1, 2 . Тогда два условия можно объединить в одно:
lim f (x) a const |
lim f (x) b const 0 0 : |
||||||||
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
||||
x 0 (x0 ) |
|
f (x) a |
|
|
|
f (x) b |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
Суммируя отдельно правые и левые части неравенств, получим:
lim f (x) a const, |
lim f (x) b const 0 0 : |
|||||||||||||
x x0 |
x x0 |
|
|
|||||||||||
x 0 (x0 ) |
|
f (x) a |
|
+ |
|
f (x) b |
|
2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Но |
f (x) a f (x) b |
|
f (x) a |
+ |
f (x) b |
, тогда |
||||||||
lim f (x) a const |
lim f (x) b const 0 0 : |
|||||||||||||
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|||||||||
x 0 (x0 ) b a 2 .
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
Последнее |
неравенство |
выполняется |
для |
любого |
сколь |
угодно |
малого |
||
только, |
если |
b a . Таким образом, |
если конечный предел существует у |
||||||
функции |
f (x) в точке x0 , то он единственный. |
|
|
|
|||||
Свойство 2. |
(Ограниченность функции) |
|
|
|
|
|
|||
Если |
существует |
конечный предел |
функции |
f (x) |
в точке |
x0 , то |
|||
существует окрестность точки x0 , в которой функция ограничена.
Сокращенная запись:
|
0 |
0 |
|
|
|
lim f (x) a const O(x0 ) M 0 : x O(x0 ) |
|
f (x) |
M. |
||
x x0 |
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
Определение 13. |
Функция f (x) называется ограниченной на отрезке a,b , |
||||
если существует |
число M 0, M R , такое, что |
для |
всех x a,b |
||
f (x) M .
Из определения:
lim f (x) a const |
0 1 |
x x0 |
|
и свойств модулей действительных чисел,
0 |
|
|
0 : x 1(x0 ) |
f (x) a |
|
в частности, |
|
|
f (x) a f (x) a .
Тогда
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
lim f (x) a const |
0 |
1 |
0 : x 1(x0 ) |
f (x) |
|
a |
. |
||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
lim f (x) a const |
0 |
1 |
0 : x 1(x0 ) |
f (x) |
|
a |
. |
||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 0, то a 0. Если ввести обозначение a M , то имеем
0 |
|
|
|
|
|
x 1 (x0 ) |
f (x) |
M . |
Таким образом, функция |
f (x) является |
|
ограниченной в окрестности |
0 |
1 (x0 ) . |
|
||
15
Свойство 3. (Сохранение знака функции)
Если существует конечный, не равный нулю, предел функции f (x) в точке x0 , то существует окрестность точки x0 , в которой функция не меняет знак .
Доказательство: |
Из определения: |
lim f (x) a const |
0 1 |
x x0 |
|
и свойств модулей действительных чисел,
0 |
|
|
0 : x 1(x0 ) |
f (x) a |
|
в частности, |
|
|
f (x) a a f (x) a ,
следует, что
lim f (x) a const 0 1 0 : x 0 1 (x0 ) .
x x0
a f (x) a .
Пусть a 0, тогда при любом сколь угодно малом 0 получим для случая
0 f (x) a , т.е. f (x) 0 .
Пусть a 0, тогда при любом сколь угодно малом 0 получим для случая
0 f (x) a , т.е. f (x) 0 .
Таким образом, существует окрестность точки x0 , в которой функция не меняет знак .
Свойство 4. (Оценка двух функции в точке)
Пусть в некоторой окрестности точки x0 заданы две функции: f (x) и g (x) ,
причем |
x O(x0 ) |
f (x) g(x) . |
Тогда, если существуют пределы |
|||
lim f (x) a const и lim g(x) b const , то |
a b . |
|
||||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
(без доказательства) |
|
|
|
|
|
|
Свойство 5. (Предел промежуточной (зажатой) функции) |
|
|||||
Пусть в некоторой окрестности точки |
x0 |
заданы три функции: (x) , |
f (x) , |
|||
(x) причем x O(x0 ) (x) f (x) |
(x) . |
Тогда, если существуют |
||||
пределы |
lim (x) a const |
и |
lim (x) a const , |
то |
||
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
lim f (x) a const .
x x0
(без доказательства)