Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Математические методы моделирования физических процессов

Файл:

Задания к типовикам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

137.56 Кб

Скачать

☆

Варианты расчетных заданий для группы Тф 14 20

Задание 20.

Вычислить приближенное значение интеграла s f(x) dx, используя квадратурные формулы: а) централь-

ных прямоугольников с шагом h = 0:4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h = 0:4 и h = 0:2; оценить погрешность последнего результата по правилу Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h = 0:4.

УКАЗАНИЕ. Промежуточные результаты вычислять с шестью знаками после запятой. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах.

N	f(x)								a	b	N	f(x)					a	b	N	f(x)					a	b

	x cos p											2 cos(0:2x2)								ln(1 + ex)
1	x cos p						x		3	4,6	2	2 cos(0:2x2)					1,8	3,4	3	ln(1 + ex)					3,6	5,2
	p3											ln(4 sin x)								ecos(1=x)					1,6	3,2
4	p3		2 cos x						3	4,6	5	ln(4 sin x)					2,8	4,4	6	ecos(1=x)					1,6	3,2
7	p		xp									e cos x								e1=x					1,3	2,9
7			xp			x			4,5	6,1	8	e cos x					1,7	3,3	9	e1=x					1,3	2,9
																							p
								x	0,9	2,5	11		0:02x x				3,3	4,9	12				p		4,4	6
	p							x	0,9	2,5	11		0:02x x				3,3	4,9	12						4,4	6
10		1 + e										e	p							sin(1 + x)
	x(sin x cos x)											cos(e p				)				e1=lnx
13	x(sin x cos x)								1,6	3,2	14	cos(e p		x		)	0,7	2,3	15	e1=lnx					3,1	4,7
		ln(1 + x)										4 cos(0:02x3)									x ln x
16									0,8	2,4	17						4,2	5,8	18		p				2,6	4,2
					x
					x																	1 + x
19	e 0:2 sin x								2,8	4,4	20	sin(1=x2)					1,2	2,8	21	sin(ex)					3,3	4,9
		p			x								x + p
22				x																ecos2 x					3,7	5,3
				x											x		4,6	6,2	24						3,7	5,3
															x		4,6	6,2	24
25	sin(p1 + x)								4,6	6,2	26	p					1,8	3,4	27	esin x					3,1	4,7
		1 + e x							3,6	5,2	23
												arctg x								2
												arctg x								2
													x
	e 0:1=x											e 0:5x2								e 1=(xp				)
28	e 0:1=x								3,3	4,9	29	e 0:5x2					2,5	4,1	30	e 1=(xp			x	)	3,8	5,4

Задание 21.

Дан интеграл вида s(c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4)dx. Используя априорную оценку погрешности формулы

трапеций, определить шаг интегрирования, достаточный для достижения точности " = 0:01, и вычислить интеграл c этим шагом. Вычислив точное значение интеграла, подтвердить достижение указанной точности.

N	a	b	c0	c1	c2	c3	c4	N	a	b	c0	c1	c2	c3	c4
1	-0,8	-0,3	1	-2	1	3	-5	2	-0,5	0	-3	3	3	4	4
3	-1,3	-0,8	-3	2	-1	-5	2	4	-1,9	-1,4	4	-5	0	2	-5

5	-0,9	-0,4	-1	-5	0	-4	-5	6	0,8	1,3	2	-1	4	-2	4
7	-0,8	-0,3	1	4	3	-1	-3	8	-0,1	0,4	-2	4	-4	4	-2

9	-0,6	-0,1	4	3	3	0	0	10	1,4	1,9	-2	4	-5	0	0
11	1,4	1,9	-5	3	3	4	3	12	-1,3	-0,8	-4	-4	0	-4	0

13	1,2	1,7	3	-1	0	2	-4	14	-2	-1,5	0	-3	-2	-1	-3
15	-1,6	-1,1	1	-4	1	-2	-4	16	1,4	1,9	-4	4	4	-2	-3
17	0,2	0,7	3	-3	3	1	2	18	-0,7	-0,2	3	-2	-3	-4	4

19	0,9	1,4	4	-1	4	-5	1	20	0,9	1,4	-5	2	-2	0	2
21	-0,6	-0,1	-1	-1	0	2	2	22	-1,9	-1,4	3	2	-5	4	0

23	-0,5	0	-3	2	3	-5	-4	24	-0,7	-0,2	-1	0	-5	4	-4
25	-0,5	0	-1	-2	1	-4	-3	26	-0,7	-0,2	-3	-5	2	-1	3

27	-0,1	0,4	-2	3	4	4	-4	28	1	1,5	4	-2	0	-3	3
29	-0,5	0	1	0	4	-5	3	30	1,3	1,8	2	-5	-3	-5	-1

Задание 22.

Вычислить приближенное значение интеграла из задания 21, используя квадратуру Гаусса с двумя узлами. Сравнить результат с точным значением интеграла.

Задание 23.

Вычислить центральную и левую разностные производные, а также вторую разностную производную

функции f(x) с шагом h = 0:1 в точке x0 =	a + b	. (Функция и величины a и b даны в задании 20). Вычислив
	2

точное значение производной в заданной точке, сравнить качество приближений.

Задание 24.

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

>y0 = f(t; y)

:y(t0) = y0

на отрезке [t0; t0 + 0:8] с шагом h = 0:2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка. Оценить

погрешность обоих методов по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

N	f(t,y)														t0	y0	N	f(t,y)											t0	y0
1	y																	y				2
				+ 2 ln t											1	0	2					+			+ 3t				1	-1
		t		+ 2 ln t											1	0	2		t			+	t2		+ 3t				1	-1
3	2y + 2e4t														0	3	4	y cos t + 3t2esin t											0	0
5	y ctg t + 8t sin t														=2	2	6				3t 1						y + 6t		1	3
																						t
	y sin t 2 sin tecos t														0	0	8				3y	6						5t
7																							+						1	2
7																					t		+			t2			1	2
9		6		+			2y								1	0	10	y cos t + esin t											0	1
9	t2			+											1	0	10	y cos t + esin t
	t2							t
			y						sin t											y							ln t
11															=2	4=	12						+						e	1
11			t								t				=2	4=	12	t ln t					+				t		e	1
								2				t									y			(t + 1)e t
13	2ty et														0	2	14												0	0
13	2ty et																		t + 1
15	y sin t + e cos t														0	0	16			y tg t +								cos t		0
15	y sin t + e cos t														0	0	16			y tg t +								t2		0
17			2y					2
						+								+ 4t	1	3	18	y ctg t + sin 2t											=2	2
			t			+				t2				+ 4t	1	3	18	y ctg t + sin 2t											=2	2
19	y			+ t cos t + t												2	20	y tg t + 3 cos t											0	1

		t
21	y			+ 2t2et									2		1	e	22	2ty 2t											0	0

		t
23	6t2y + 12t2														0	0	24	2yt2 + 4t2											0	-1
													1					y tg t + cos2 tesin t											0	0
25	y tg t +														0	0	26												0	0
25	y tg t +													cos t	0	0	26
27			y						cos t
					+										=2	0	28	y ctg t + 2 sin t											=2
			t		+						t				=2	0	28	y ctg t + 2 sin t											=2
29			y					+ 3(t + 2)e3t							0	4	30				4t 1						y + 2t		1	1
29	t + 2							+ 3(t + 2)e3t							0	4	30										y + 2t		1	1
	t + 2																					t

Задание 26.

Определить порядок аппроксимации 2-шагового метода

h(a0yi + a1yi 1 + a2yi 2) = b0f(ti; yi) + b1f(ti 1; yi 1) + b2f(ti 2; yi 2); i = 2; 3; : : : n

решения задачи Коши			8y0	= f(t; y)		и исследовать данный метод на нуль-устойчивость.
			>
			<y(t0) = y0
			>
			:
	N	a0		a1	a2	b0	b1	b2	N	a0	a1	a2	b0	b1	b2
	1		1,2	-1,4	0,2	-1,3	1,5	0,8	2	2,9	-4,8	1,9	-0,9	0,5	1,4
	3		2,4	-3,8	1,4	2,2	-1,5	0,3	4	1,1	-1,2	0,1	1,9	-2,2	1,3

	5		1,1	-1,2	0,1	-1,8	0,5	2,3	6	3,5	-6	2,5	5,1	-6,2	2,1

7	2,2	-3,4	1,2	-0,4	0,9	0,5	8	3,7	-6,4	2,7	4,1	-4	0,9
9	1,8	-2,6	0,8	-3,7	1,8	2,9	10	3,3	-5,6	2,3	5,6	-7,4	2,8

11	2	-3	1	-0,8	0,4	1,4	12	3,2	-5,4	2,2	4,5	-5,3	1,8
13	3,6	-6,2	2,6	-1,5	1,2	1,3	14	1,4	-1,8	0,4	-1,8	1,3	1,5

15	1,1	-1,2	0,1	-3,1	2,9	1,2	16	3,5	-6	2,5	-4,5	2,8	2,7
17	1,1	-1,2	0,1	1,1	-0,6	0,5	18	3,7	-6,4	2,7	5,3	-6,4	2,1
19	1,4	-1,8	0,4	3,6	-5,3	2,7	20	1,2	-1,4	0,2	-0,6	0,6	1

21	3,8	-6,6	2,8	3,8	-3,3	0,5	22	2,6	-4,2	1,6	-1,4	1,2	1,2
23	3,4	-5,8	2,4	3,7	-3,5	0,8	24	2,1	-3,2	1,1	-1	0,8	1,2

25	3,6	-6,2	2,6	-1,7	0,7	2	26	3,6	-6,2	2,6	4,4	-4,7	1,3
27	2,9	-4,8	1,9	5,2	-7	2,8	28	2,3	-3,6	1,3	-1,5	0,6	1,9

29	2,3	-3,6	1,3	-2,1	0,7	2,4	30	2,6	-4,2	1,6	-1,1	1,8	0,3

Задание 27.	8 y00
Методом конечных разностей найти решение краевой задачи	8 y00	+ q(x)y = f(x)	с шагами h1 = 1=3,
	>

:y(0) = y0; y(1) = y1

h2 = 1=6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить на одном чертеже графики полученных приближеных решений.

N	q(x)		f(x)				y0	y1
1	1		3	x2			1	0
2	2		2	+ 2x			1	2
3	2ex		xex(ex 1)				1	1 + e
4	( =2) tg2( x=4) +		( =2) tg( x=4)				0	1
	1=p			+ 1=(4(1 + x)3=2)				p
5	1=p	1 + x	1	+ 1=(4(1 + x)3=2)			1	p	2
6	6		2e2x 1				1=e	e
7	1		2e x				1	2=e
8	1 + x		3x + 3				3	3
9	1 x		1	x2			1	2
10			tg( x=4) 1 tg2( x=4)			=2	0	1
11	5 2=9		2 cos( (2x		1)=3)		1=2	1=2

12	1		2	+ x x2			1	e
13	2(1 + x)		2	2=(1 + x)3			1	1=2
14	2=2		2(1 + sin2( x=2))=2				1	0
15	4		4e 2x				0	1=e2
16	2		2x2 2x				1	1
17	3 + x		6 x x2				2	1
			(x2 + 2x + 2)=(4(1 + x)3=2)					p
18	1=4		(x2 + 2x + 2)=(4(1 + x)3=2)				1	p	2
19	2 2		3 2 sin( x)				0	0
20	3 2=4		2 sin( x=2)				0	1
21	2		2 2 + 5 2 sin2( x)				0	0
22	1		2e x				0	1=e

Задание 29.

Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

N	q(x)	f(x)	y0	y1
23	1	2e1 x	0	1
24	5	e2x	1	e2
25	1=2	2x + x2=2	4	9
26	4=(1 + x)2	2=(x + 1)3	1	1=2
27	3 2=4	2 cos( x=2)	1	0
28	1	5 sin 2x	0	sin 2

29	1=(1 + x)	1	1	2

30	e2	e2x	2	1 + e

Задание 28.

Определить порядок аппроксимации метода

		8			i+1	h2i				i 1	+ ayi+1 + byi + cyi 1 = fi +					12 fi00		; i = 1; : : : ; n 1;
		>		y		2y	+ y									h2
		<
		>y0 = yn = 0
		:				8 u00		+ u = f;
решения краевой задачи						8 u00		+ u = f;
						>
						<u(0) = u(1) = 0:
						>
						:
	N	a		b		c				N	a	b	c	N	a		b		c	N	a	b	c

	1	2		-1		0				2	-1	1	1	3	3/2	0			1/2	4	1/6	2/3	1/6
	5	0		-1		0				6	0	0	1	7	4/3	-1			2/3	8	-1/6	4/3	-1/6
	9	-1/12		2		-1/12			10		1/3	0	2/3	11	1	-1			1	12	-2	5	-2

	13	2/3	1/6			1/3			14		-2/3	4/3	-2/3	15	-1/2	0			3/2	16	1/6	0	1/6
	17	-2		5		-2			18		1/3	0	1/3	19	1/3	1/3			1/3	20	2	0	-1

	21	-1/2		2		-1/2			22		1/2	3/2	-1	23	2/3	-1/3			2/3	24	0	1/2	1/2
	25	1/6		1		-1/6			26		0	3/2	-1/2	27	0	0			0	28	0	2	0

	29	1/12	5/6			1/12			30		1	-2	1

= k

@2u

+ f(x; t); a < x < b; 0 < t T;

> @t

@x2

u(a; t) = g1(t); u(b; t) = g2(t); 0 < t

>u(x; 0) = '(x); a

, øàã

выбрать из условия устойчивости. Изобразить

используя явную разностную

схему. Взять

h = (b

a)=10

графики зависимости приближенного решения от x при = 0; 2 ; 4 ; : : : T .

'(x)

g1(t)

g2(t)

f(x; t)

0:2

1 e t

e t

-1

0.5

1 x2

(1 x)2

1=(1 + t)

1 x2

1=(1 + t)

0:4

N	a	b	k	'(x)	g1(t)	g2(t)	f(x; t)
7	0	1	0:5	1 x3	e t	1 e t	0
8	0	1	0.1	x2	0	1	t
9	0	1	2	0	0	sin(10t)	x(1 x)
10	0	1	0:2	x3	sin t	cos t	0
11	0	2	2	0	0	10t	1
12	0	1	0:2	1 x2	1	0	1 x
13	0	1	0:25	1	e 3t	sin t	0
14	0	1	0:2	x x2	0	t	x x2
15	0	1	0:4	(1 x)3	1	sin t	(1 x) sin t
16	0	1	0:5	1 x3	et	0	1 x
17	-1	1	0.2	0	0	0	1	x2
18	0	1	0:25	x3	0	1	x
19	0	2	1	sin x	0	sin 2	2	x
20	-1	1	0.5	x2	1	1	x
21	0	1	0:25	x x2	t	0	e t
22	0	1	0:2	1	cos t	1	0

23	0	1	0:25	1 x3	cos 2t	t	0
24	0	1	0.5	0	0	10t	t

25	0	1	0:25	(1 x)2	e t	1 e t	0
26	0	1	1	1	1	1	1

27	0	1	0.2	sin x	0	sin(1 + 2t)	1	x
28	0	1	1	jx 0:5j	0.5	0.5	0
29	0	1	1	0	0	0	x

30	0	1	0.25	x3	0	1	5

Соседние файлы в папке Типовые задачи

#
16.05.2024102.32 Кб0RZ29_Dolgov_R.xmcd
#
16.05.2024137.56 Кб0Задания к типовикам.pdf
#
16.05.2024661.4 Кб0РЗ20 Долгов Р ТФ-14-20.pdf
#
16.05.2024539.94 Кб0РЗ21 Долгов Р ТФ-14-20.pdf
#
16.05.202496.14 Кб0РЗ21 Долгов Р ТФ-14-20.xmcd
#
16.05.2024329.25 Кб0РЗ22 Долгов Р ТФ-14-20.pdf
#
16.05.202453.58 Кб0РЗ22 Долгов Р ТФ-14-20.xmcd