Решение задачи Дирихле с применением метода релаксации
Задача 2.2. Решить ту же задачу, используя метод релаксации с точностью , исследовать зависимость количества итераций от параметра релаксации при шаге .
Решение.
Расчеты по методу релаксации ведутся
в порядке, описанном в предыдущем
параграфе. Отличие заключается только
в том, что значения, получаемые по
формулам (2.3), обозначаются
,
после чего сразу осуществляется пересчет
полученного значения по формуле
где
— параметр релаксации.
Проведем расчеты
для значений параметра
;
;
…;
,
а в качестве критерия окончания будем
использовать неравенство
.
В табл. 2.2 приведена зависимость количества
итераций
от параметра
(приведен наиболее важный участок
зависимости).
Табл. 2.2. Зависимость количества итераций от параметра |
|||||||||||||
|
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
|
265 |
224 |
190 |
162 |
138 |
117 |
99 |
81 |
65 |
49 |
35 |
50 |
101 |
Таким образом,
минимальное количество итераций
достигается при
.
Это значение ближе всего к теоретическому
значению, равному при рассматриваемом
шаге сетки
(см. книгу [2, гл. 5, §1, п. 4]).
2. Самарский, а. А. Численные методы / а. А. Самарский, а. В. Гулин. — м.: Наука, 1989