4 семестр / Лекции / Лекция 13

Лекция 13 . Применения метода конечных разностей для решения

нестационарных задач математической физики.

Литература к лекции. [1] Казенкин К.O., Амосова О.А.. Численное решение задач математической физики. Нестационарные уравнения .М: Изд-во МЭИ, 2016.

§ 13.1 Важность условия устойчивости для явных схем.

Будем решать эту же задачу с теми же соотношениями шагов, но с помощью неявной разностной схемы.

§ 13.2 Семейство разностных схем с весами.

Продолжим рассматривать построение разностных схем для первой краевой задачи с постоянными коэффициентами для уравнения теплопроводности.

(13.1)

Рассмотренные выше схемы (явная и неявная ) имели порядок аппроксимации .

Кажется вполне логичным, заменить производную по t центральной разностной производной и тем самым получить 2-ой порядок аппроксимации по : .

(13.2)

Оказывается, что эта схема непригодна, так как она является абсолютно неустойчивой.

Если исследовать схему методом гармоник, то получим следующее характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения равны:

Один из корней всегда по модулю больше 1.

Обычно поступают иначе.

Применяют семейство схем с весами.

(13.3)

Где - параметр.

При имеем явную схему,

имеем чисто неявную схему,

имеем симметричную схему,

имеем схему повышенного порядка аппроксимации ,

.

Известно, что все схемы с абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации также является абсолютно устойчивой РС. При РС являются неявными схемами. Для нахождения решения на каждом временном слое требуется решать систему уравнений. Обычно задача может быть решена методом прогонки.

Заметим, что при этом используется “шеститочечный шаблон”.

Как и в случае задачи Коши для ОДУ, погрешность аппроксимации является характеристикой качества приближения разностной схемы дифференциальной задачи. Если , то говорят, что схема имеет p-ый порядок по и

q-ый порядок по h.

ПРИМЕР 13.1. Доказать, что симметричная схема имеет второй порядок аппроксимации по и по h. Напомним, что погрешность аппрокcимации определяется как невязка в уравнении на точном решении задачи u(x,t).Возьмем симметричную схему при

Теперь пересчитаем производные по x на полуцелом слое :

Складывая два выражении и умножая на 0.5 получим:

Подставляя в выражение для погрешности аппроксимации, имеем:

ч.т.д.

§ 13.3. Построение разностной схемы для уравнения с переменным коэффициентом

теплопроводности.

В случае, когда стержень состоит из нескольких материалов, уравнение теплопроводности имеет следующий вид:

(13.3)

Здесь к=k(x) – положительно определенная функция. Для того, чтобы разностная схема имела порядок аппроксимации , следует воспользоваться результатами

лекции 10 . Запишем неявную разностную схему для задачи (13.3):

Преобразуем разностное уравнение:

Здесь. , , , i=1..n-1.

Далее задача решается по алгоритму, изложенному выше для неявной схемы.

В этом случае матрица системы зависит от коэффициента теплопроводности:

Замечание. Если решать эту задачу по явной схеме, то нужно выбрать шаг по времени из условия устойчивости. Для переменного коэффициента теплопроводности это условие имеет вид: , здесь . Естественно, что оно является

очень ограничительным.

§ 13.4 Двумерная задача теплопроводности.

Рассмотрим задачу о нагревании прямоугольной пластины.

, ,

,

Здесь прямоугольник, - граница прямоугольника.

Введем разностные операторы:

Тогда разностная схема примет вид:

(13.4)

Формулы (13.4) определяют явную разностную схему. Решение во всех внутренних точках находится по формулам:

Недостатком этой схемы является условная устойчивость: схема устойчива при соотношении шагов: . Пусть h=0.01. Тогда . Чтобы получить решение в t=T=1 нужно сделать 40000 шагов по времени. Это неприемлемое число арифметических действий.

Неявная разностная схема – абсолютно устойчивая.

13.5)

На каждом временном слое нужно решать систему уравнений, содержащую неизвестных.

Метод переменных направлений.

Начиная с 50-х годов 20 века стали развиваться методы, основанные на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. Эти методы сочетают в себе положительные стороны явной и неявной схемы: абсолютную устойчивость и простоту решения. Рассмотрим так называемый метод переменных направлений. В этом методе переход от слоя m к слою m+1 осуществляется в два этапа: вводится дополнительный слой и уравнение разбивается на два:

(13.6)

На втором этапе , пользуясь найденными значениями находим из системы уравнений:

(13.7)

Уравнение (13.6) является неявным по первой переменной, а второе уравнение – по переменной .

Рассмотрим подробно первое уравнение системы:

Приведем уравнение к стандартному виду:

, где

При каждом фиксированном j=1,2,..N1 методом прогонки по i решаем СЛАУ . После того как найдены значения решаем следующие уравнения:

Также методом прогонки.

Приведем для сравнения число арифметических действий, требуемых для решения сеточных уравнений. Здесь N1=N2=N.

	Явная схема	Неявная схема	Метод переменных направлений