ЛЕКЦИЯ 9.
РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 9.1 СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
Материал также изложен в учебнике §15.2, §15.3.
Напомним, что в лекции 8 рассматривался вопрос о решении краевой задачи:
найти
функцию
,
удовлетворяющую дифференциальному
уравнению второго порядка внутри отрезка
и дополнительным (граничным) условиям
в концах отрезка:
(9.1)
Были сформулированы основные теоремы о разрешимости и устойчивости задачи.
Теперь рассмотрим аналоги этих теорем для дискретной задачи – так называемой разностной схемы.
Для простоты рассматривается случай, когда коэффициент теплопроводности
k(x)=1.
Приведем разностную задачу для задачи (9.1) и будем ссылаться на нее
как на задачу (9.2).
(9.2)
где
,
ТЕОРЕМА 9.1. Решение разностной схемы (9.2) существует и единственно.
Было доказано в лекции 8.
ТЕОРЕМА 9.2 (принцип максимума для
разностной схемы) . Пусть сеточная
функция
является решением разностной схемы
(9.2). Тогда если
,
,
,
то и
.
ТЕОРЕМА 9.3(априорная оценка решения). Для решения разностной схемы (9.2) справедлива априорная оценка:
(9.3)
Пусть
- решение дифференциального уравнения
.
Определение.
Назовем сеточную функцию
погрешностью аппроксимации разностного
уравнения
,
(9.4)
Подчеркнем,
что сеточная функция
определяется в узлах сетки как разность
между
правой
и левой частью уравнения при подстановке
точного решения u
в уравнение (9.2) . Из определения
следует, что справедливо равенство:
,
означающее, что функция u удовлетворяет разностному уравнению (9.2) с точностью до погрешности аппроксимации.
Определение.
Будем говорить, что разностное
уравнение (9.2) аппроксимирует
дифференциальное уравнение
с m-м порядком (m>0),
если
.
ТЕОРЕМА 9.4. (оценка погрешности аппроксимации). Пусть коэффициенты q и f дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]. Тогда дифференциальное уравнение аппроксимирует разностное со вторым порядком точности по h. При этом справедлива оценка:
,
(9.5)
Доказательство:
В силу предположения о q
и f функция u(x)
имеет на отрезке [a,b]
непрерывную производную
(см. теорему 8.1.) В силу определения
погрешности аппроксимации имеем:
где
- погрешность аппроксимации производной
ее разностным аналогом. Окончательно,
(9.6)
ч.т.д.
Рассмотрим вопрос об устойчивости разностной схемы. Наряду с исходной разностной схемой рассмотрим «возмущенную задачу»:
где
,
,
.
Определение. Будем называть разностную схему устойчивой, если справедлива оценка:
(9.7)
ТЕОРЕМА 9. 5. (устойчивость р. с.) Разностная схема устойчива.
Доказательство.
Заметим, что сеточная функция
является решением разностной схемы:
Применим к задаче априорную оценку (9.3), тогда получим оценку (9.7).
ч.т.д.
Дадим базовое определение сходимости разностной схемы.
Определение.
Будем называть погрешностью разностной
схемы сеточную функцию
,
принимающую значения
в узлах сетки
.
Определение.
Будем говорить, что разностная
схема сходится при
,
если
и
сходится с m-м порядком
точности по h если
.
где C – некоторая постоянная, не зависящая от h.
ТЕОРЕМА 9.6 (сходимость р.с.) Пусть коэффициенты q и f дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b]. Тогда разностная схема сходится со вторым порядком точности по h. При этом справедлива оценка:
, (9.8)
где
Доказательство.
Введем сеточную функцию
,
значения которой в узлах сетки совпадают
с точными значениями решения краевой
задачи:
.
Тогда функция
является решением следующей задачи:
,
где
,
,
.
В силу теоремы об устойчивости (9.5) справедлива оценка (9.7):
Применяя теорему об аппроксимации разностной схемы и оценку (9.5), получим оценку (9.8).
Оценка погрешности по правилу Рунге. На практике чаще используются апостериорные оценки погрешности, использующие расчеты на сгущающихся сетках.
Пусть
и
- решения разностной схемы, соответствующие
шагам h и 2h.
Тогда в соответствии с правилом Рунге
при определенных условиях справедлива
приближенная формула:
,
.
(9.10)
Формула
(9.10) применима только в узлах сетки
,
то есть там, где определены обе сеточные
функции
и
.
§ 9.2 Построение разностных схем методом конечных разностей.
(9.11)
,
i=1,
…N-1
(9.12)
…..
Введем матрицу системы и вектор правой части:
,
Тогда систему можно записать в матричной форме: Au=f
Рассмотрим краевую задачу с более сложным дифференциальным уравнением:
Метод конечных разностей состоит в замене производных их разностными аналогами.
A)
,
i=1,..N-1
,
.
B)
i=1,..N-1
, .
Разница состоит в матрице системы уравнений и порядке аппроксимации схем.
Рассмотрим случай А) Перепишем систему . Сначала запишем уравнение так:
Затем соберем подобные члены:
Тогда система уравнений будет выглядеть так:
Вектор
f:
Для случая B) представим окончательный результат: Au=f
Вектор f остается без изменений. В случае B) cхема второго порядка аппроксимации.
§ 9.3. Материалы к ЛР 7.
Задача
7.1. Промоделировать распределение
температуры в стержне в зависимости
от входных параметров задачи.
(7.1)
с
заданным шагом
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Найти аналитические решения задачи для случая входных данных (I) и (II). Записать полученные решения в таблицу (7.1).
2. Cоставить разностную схему для задачи (7.1). Предусмотреть решение системы разностных уравнений c помощью встроенной процедуры.
3.
Для случаев (I)
и (II)
построить графики аналитического
решения и приближенного, полученного
с шагом
.
Найти величину погрешности по формуле
.
4.
Для случая 3 найти приближенные решения
и
с шагами
и
Построить точечный график приближенного
решения при
Найти погрешность по правилу Рунге.
5. На одном чертеже построить графики всех полученных решений. Провести анализ погрешностей.
|
q |
f(x) |
Решение |
Погрешность |
(I) |
q(x)=0
|
f(x)=0 |
|
|
(II ) |
q(x)=0
|
f(x)=F(x) |
|
|
(III) |
q(x)= N |
f(x)=F(x) |
|
|
Рассмотрим случай (I)
Решение:
Рассмотрим случай (II)
- однородное уравнение.
Составляем
характеристическое уравнение:
.
Корнями уравнения являются
Значения
,
Общим решением дифференциального
уравнения будет функция:
.
Для нахождения констант С1 и С2 воспользуемся
граничными условиями:
=ub
Решая систему уравнений, найдем коэффициенты С1 и С2.
Рассмотрим случай (III)
Если рассматривается неоднородное уравнение, то решить аналитически краевую задачу для произвольной правой части не удается. Будем решать ее численно.
Разностная схема для задачи готова – это СЛАУ ( 9.12). Остается найти решение СЛАУ.
Задача 7.2. Промоделировать распределение температуры в стержне в зависимости от входных параметров задачи.
(7.2)