4 семестр / Лекции / Лекция 8

ЛЕКЦИЯ 8. ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ.

ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] Глава 14. §14.11.Глава 15. §15.1,15.2

§8.1 Понятие о жестких задачах.

При решении задачи Коши явными методами столкнулись с неприятным явлением. Несмотря на медленное изменение искомых функций расчет приходится вести с неоправданно мелким шагом h. Все попытки увеличить шаг приводят к катастрофической потере точности. Обладающие таким свойством задачи называются жесткими. Подчеркнем, что жесткость является не свойством метода, а свойством задачи.

ПРИМЕР 8.1.

Решением этой задачи является функция . Ее решение представляется интегральной кривой (см. ПРИЛОЖЕНИЕ к лекции 8). Если решать задачу явным методом Эйлера :

, ,

то решение можно получить при достаточно мелком шаге по времени.

Если же воспользоваться неявным методом Эйлера ( а он А-устойчив), то получим, что решения совпадают с исходным решением с точностью 0.001 при шаге в 10 раз большем, чем для метода Эйлера..

В ПРИЛОЖЕНИИ неявный метод Эйлера реализован следующим образом:

Так как уравнение линейно по y, перенесем неизвестное слагаемое в левую часть:

Тогда можно получить явную формулу для нахождения :

Приведенная ситуация типична для жестких задач. Наличие быстроменяющейся жесткой компоненты заставляет выбирать шаг из условия абсолютной устойчивости. При использовании А-устойчивых методов такой проблемы не возникает.

Жесткие системы ОДУ.

Рассмотрим однородную линейную систему ДУ с постоянными коэффициентами.

(8.1)

Если ввести матрицу системы и вектор решений

То систему (8.1) можно записать в матричной форме:

(8.2)

Пусть все собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части

. Тогда решение асимптотически устойчиво и представляется в виде:

Если среди вещественных частей имеются числа с сильным разбросом, то возникает та же проблема, что и для уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть для всех k=1…m. Определим число жесткости системы с помощью формулы:

Система уравнений называется жесткой, если для нее s>>1.

ПРИМЕР.8.2.

Найдем собственные числа матрицы . Составим определитель:

Det(A-λE)= =0. Решая уравнение, получим, что -1, -39.

Число жесткости s=39. Следовательно, система является жесткой. Решение системы имеет вид:

Для решения жестких задач следует применять А- устойчивые методы. Однако класс таких задач довольно узок. Например, среди явных методов нет А- устойчивых. Применение неявных методов дает лучшие результаты. Чтобы построить неявные методы можно использовать методы аппроксимации производной при дифференцировании назад. Приведем формулы дифференцирования назад при k= 1,2,3, 4, имеющие k-ый порядок точности:

k=1,

, k=2

, k=3

Данные методы относятся к методам Гира.

§ 8.2 Постановка краевой задачи.

Рассмотрим задачу о нагревании тонкого однородного стержня.

Представим, что мы проводим эксперимент по теплопроводности.

Шаг 1. Берем достаточно длинный стержень (например, медный), у которого боковая

поверхность теплоизолирована. Тепло протекает только через торцы стержня.

Шаг 2. Поместим этот стержень в устройство с некоторой фиксированной температурой

T0 на достаточно долгое время так, что температура внутри стержня станет такой же как и температура устройства.

Шаг 3. Вытащим стержень из устройства в некоторый момент времени, который удобно

взять за нулевой t=0 присоединим к нему с концов два термоэлемента. Задача этих элементов поддерживать на концах фиксированные температуры T1 и T2.

Шаг 4. Проследим за профилем температуры в стержне . Для этого обозначим через

- значение температуры в точке x в момент времени t. Построим графики изменения температуры в некоторые фиксированные моменты времени:

, , ….Через некоторое время температура в стержне будет представлять

собой линейную функцию и дальше изменяться со временем не будет. Мы получим так называемое стационарное распределение температуры.

Основное одномерное уравнение теплопроводности имеет вид:

(8.3)

- плотность источников тепла, - начальная температура, - граничные функции, характеризующие температуру на концах стержня.

Устремляя время , будем считать, что процесс устанавливается и тогда:

при , и задача формулируется следующим образом:

Постановка краевой задачи. Найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка внутри отрезка и дополнительным (граничным) условиям в концах отрезка :

(8.4)

Будем говорить, что - стационарное распределение температуры в стержне в точке

, - коэффициент теплопроводности (по физическому смыслу ),

- коэффициент теплоотдачи ( ), qu- мощность стоков тепла - плотность источников тепла.

Уравнение в задаче (8.4) будем называть одномерным стационарным уравнением теплопроводности. Краевые условия в (8.4) означают, что на концах стержня поддерживается фиксированная температура – в левом конце , в правом конце .

Краевые условия в (8.4) называются краевыми условиями 1-го рода. Наряду с условиями 1-го рода будем также рассматривать краевые условия 2-го рода:

Физический смысл этих условий: на концах отрезка задана плотность тепловых потоков. В частности, если , это означает, что стержень теплоизолирован.

§ 8.3 Основные теоремы о разрешимости и устойчивости задачи.

Всюду далее будем рассматривать более простую задачу с коэффициентом :

(8.5)

Введем дифференциальный оператор . Тогда задача (8.5) в операторном виде запишется так:

(8.6)

Приведем без доказательства известные из теории дифференциальных уравнений результаты о разрешимости задачи и гладкости ее решения.

Теорема 8.1 (существование и единственность решения) Пусть коэффициенты , . Тогда решение краевой задачи (8.6) существует и единственно, а функция

.

Теорема 8.2 (принцип максимума). Пусть - решение задачи (8.6). Тогда если

, , , то .

Физический смысл теоремы состоит в том, что если присутствуют источники тепла и температура торцов стержня неотрицательна, то ни в одной из внутренних точек стержня температура не может стать отрицательной.

Теорема 8.3 (априорная оценка). Справедлива следующая оценка решения краевой задачи

(8.7)

Оценка (8.7) называется априорной оценкой. Она оценивает решение через входные данные задачи.

Рассмотрим вопрос об устойчивости задачи. Пусть - решение задачи (8.6), а - решение краевой задачи:

Здесь , , .

Теорема 8.4 (устойчивость задачи). Справедлива оценка

(8.8)

Доказательство теоремы вытекает из априорной оценки (8.7)

и линейности задачи.

Устойчивость задачи следует из (8.8) таким образом: если погрешности входных данных , то .

§ 8.4 Метод конечных разностей.

Будем для начала рассматривать задачу (8.5) c коэффициентом k(x)=1.

(8.5)

Произведем дискретизацию задачи. Заменим отрезок сеткой : . Точки называются узлами сетки . Будем считать сетку равномерной с шагом , , . Будем вычислять решение краевой задачи не в произвольных точках отрезка , а только в узлах сетки . Искомой будет сеточная функция . Значения этой функции в узлах будем обозначать и рассматривать как приближения к значениям точного решения .

Аналогично введем сеточные функции и , принимающие в узлах сетки

значения , .

Заменим вторую производную разностной аппроксимацией:

(8.9)

Так как дифференциальное уравнение в задаче (8.5) рассматривается во внутренних точках отрезка, то в каждой точке , потребуем выполнения уравнения:

, (8.10)

В результате дифференциальное уравнение оказалось аппроксимированным его дискретным аналогом – разностным уравнением (8.10). Потребуем выполнения граничных условий

, .

Таким образом, пришли к системе линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных и равно N+1.

Преобразуем уравнение (8.10) к следующему виду:

и запишем систему более подробно:

(8.11)

…..

Очевидно, что получили СЛАУ с трехдиагональной матрицей системы. Дискретную задачу (8.11), зависящую от параметра h будем называть разностной схемой.

Докажем теорему о разрешимости задачи (8.11).

ТЕОРЕМА 8.5. Решение разностной схемы (8.10) существует и единственно.

Доказательство: Система уравнений (8.10) есть частный случай разреженной системы:

с трехдиагональной матрицей. Известно, что если выполнены условия диагонального преобладания:

, , , то прогонка может быть доведена до конца.

Очевидно, для системы (8.10) условия диагонального преобладания выполнены.

Следовательно, можно решить систему уравнений методом прогонки и решение СЛАУ при этом – единственно.

Пример.8. 3. Функция является решением следующей задачи:

Разобьем отрезок на N частей и запишем разностную схему для задачи.

, , .

, i=1,…N-1