4 семестр / Лекции / Лекция 5

ЛЕКЦИЯ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ.

ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] Глава 14. §14.2,14.7

§ 5.1 Вычисление решения задачи Коши методом Эйлера с заданной точностью.

Пусть дано ОДУ 1-го порядка. Требуется найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению и начальному условию:

при (5.1)

Геометрически задача (5.1) состоит в нахождении интегральной кривой, выходящей из точки , которая в каждой точке имеет заданное направление касательной .

Простейшим и исторически первым методом решения задачи Коши является метод Эйлера :

(5.2)

известно.

Правило Рунге. Можно оценить величину локальной погрешности решения, полученного с половинным шагом: (5.3)

Формула (5.3) называется формулой двойного пересчета или правилом Рунге.

Пример 5.1

Расчетная формула метода:

Выполним вычисления с шагами и

Y1(0)=2 Y1(0,2)=2.4 Y1(0.4 )=2.87043 Y1(0.6 )=3.992005

Теперь если вычислить решение с половинным шагом, то точек стало в два раза больше:

Y2(0)=2 Y2(0.1)=2.2 Y2(0,2)=2.4189 Y2(0.3)=2.6559 Y2(0.4 )=2.9097 Y2(0.5)=3.17770

Y2(0.6 )=3.45567

Вычислим погрешности на шаге:

r(0)=0 r(0.2)=0.2 r(0.4)=0.03 r(0.6)=0.5

Максимальное из этих значений будем называть глобальной погрешностью.

Ответом является вектор Y2, вычисленный с точностью 0.5.

Алгоритм вычисление решения задачи Коши с заданной точностью eps методом Эйлера.

1. Ввод исходных данных: t0, T, y0, f(t,y), eps, h, N

2. for i=0..N-1

Y1[i+1]=Y[i]+h*f(t0+ih,y[i])

3. h=h/2 N=2*N

4. for i=0..N-1

Y2[i+1]=Y[i]+h*f(t0+ih,y[i])

5. for i=0..N-1

r[i]= |Y1[i]-Y2[2*i]|

6. E=max(r)

7. If Е <= eps, то переход на 8

В противном случае Y1=Y2 и переход на п.3

8. Вывод Y2, E.

§ 5.2 Построение методов на основе квадратурных формул.

Рассмотрим задачу Коши.

при (5.1)

Проинтегрируем уравнение на отрезке :

Вычислить интеграл, стоящий в правой части невозможно, так как функция f(t,y) содержит неизвестную функцию y(t). Для вычисления интеграла воспользуемся квадратурными формулами.

1. Применим формулу левых прямоугольников:

Или:

Получили метод Эйлера. Перепишем его в каноническом виде:

Метод 1-го порядка точности по h.

2. Применим метод центральных прямоугольников:

Так как значение неизвестно, то для его нахождения выполним полшага методом Эйлера:

Тогда расчетная формула примет вид:

Получили расчетную формулу усовершенствованного метода Эйлера.

В канонической форме метод примет вид:

Получили метод 2-го порядка точности по h .

3. Применим формулу правых прямоугольников:

Или:

Получили неявный метод Эйлера. В правую часть уравнения входит неизвестное значение .

Перепишем его в каноническом виде:

Метод 1-го порядка точности по h.

4. Применяя метод трапеций можно получить метод Эйлера-Коши или правило трапеций.

Метод 2-го порядка точности по h. .

Можно получить также классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности, применяя формулу Симпсона:

Для вычисления неизвестных значений

,

Выполним следующее:

,

Затем, используя это значение, вычислим:

Тогда формула Симпсона примет вид:

Получили метод 4-го порядка точности по h

Рассмотрим, например, как можно реализовать неявный метод Эйлера.

ПРИМЕР 5.2.Дана задача Коши:

Найти решение задачи в двух последующих точках 0.1 и 0.2.

Выберем шаг h=0.1 и запишем расчетные формулы неявного метода Эйлера:

Можно реализовать алгоритм в виде прогноза-коррекции:

прогноз делаем по явному методу Эйлера, коррекцию – по

неявному методу.

Расчеты:

ОТВЕТ: , ,

В случае, если уравнение является линейным по y неявный явный метод можно свести к явному, преобразуя расчетную формулу. Вернемся к примеру 5.1.

Пример 5.3

Расчетная формула метода: . Преобразуем уравнение:

,

Выполним вычисления с шагом

Получим следующий вектор решения.

2

2.2209894

2.4623124

2.7223925

2.99858

3.2870453

3.5827418

§5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ. АППРОКСИМАЦИЯ И СХОДИМОСТЬ

ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА.

Запишем метод Эйлера и метод Тейлора в т.н. канонической форме:

Метод Эйлера:

Метод Тейлора:

Можно считать, что левая часть методов представляет собой аппроксимацию производной, правая часть – аппроксимацию правой части уравнения задачи Коши.

Заметим, что оба метода являются явными одношаговыми методами. В более общей

форме будем записывать явные одношаговые методы так:

(5.4)

Далее будем изучать более сложные методы: явные k-шаговые и неявные k-шаговые методы.

Для k- шагового метода будем считать, что известны значения

Тогда каноническая форма явного k-шагового метода примет вид:

(5.5)

известны.

Каноническая форма неявного k-шагового метода имеет вид:

(5.6)

известны.

Выражение (5.6) отличается от (5.5) тем, что и в левую, и в правую части входит неизвестное значение .

ОПР. Будем называть задачу (5.6) k -шаговым неявным разностным методом или дискретной задачей Коши в канонической форме.

ОПР. Будем называть погрешностью сеточную функцию со значениями в узлах равными

Напомним, что - приближенное решение задачи, а - точное решение задачи в точке .

ОПР. В качестве меры погрешности метода примем величину

называемую глобальной погрешностью.

ОПР. Будем говорить, что метод сходится с p-ым порядком точности по h, если справедливо неравенство: , где c – константа, не зависящая от h.

ОПР. Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем сеточную функцию , определяемую

формулой

(5.7)

Погрешностью аппроксимации на решении y(t).

Замечание. Из определения следует, что функция y(t) удовлетворяет уравнению (5.7) с

точностью до погрешности аппроксимации.

Сеточную функцию используют для предварительной оценки того, насколько точно

аппроксимируется дифференциальное уравнение сеточным аналогом.

ОПР. Говорят, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с p-ым порядком, если , p>0

ПРИМЕР 5.4. Найдем погрешность аппроксимации метода Эйлера.

Теперь оценим . Обозначим через . Тогда очевидно, что

справедлива оценка : . Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации по h.

§ 5.3. Методы Рунге-Кутты.

Вывод методов из формулы Тейлора.

В начале 20-го века немецкие математики Рунге, затем Хойн и Кутта предложили класс методов, которые получили название методов Рунге-Кутты. Можно считать, что в методах

Рунге-Кутты интегральная кривая заменяется ломаной и вычисления проводятся по формуле: , где - угловой коэффициент секущей, проведенной из точки в точку . Угловой коэффициент вычисляется как линейная комбинация угловых коэффициентов в m вспомогательных точках, выбранных на отрезке .

Вычисления проводятся по формулам:

,

…..

Коэффициенты , , подбираются таким образом, чтобы локальная погрешность метода Рунге-Кутта имела заданный порядок точности по h.

Построим методы Рунге-Кутты 2-го порядка точности.

, .

Здесь неизвестными являются величины , , .

Расчетная формула в этом случае примет вид:

Разложим последнее слагаемое в ряд Тейлора в точке :

Тогда

Составим разложение точного решения:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях h, получим следующие соотношения:

Заметим, что получили систему уравнений, в которой неизвестных больше чем условий.

Сделаем дополнительные предположения: пусть . Тогда:

Второе уравнение примет вид:

, откуда , .

Таким образом, получили параметрическое семейство методов Р-К 2-го порядка точности:

,

При имеем так называемый усовершенствованный метод Эйлера:

Геометрическая интерпретация.

При имеем так называемый метод Эйлера-Коши:

Можно построить методы любого порядка точности по h.