§ 4.3. Модификации метода Эйлера.

Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в середине отрезка , затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.

y

_

y₁

y₁

y₀

А- начальная точка.

L₁- касательная к y(t) в точке А.

L₂- касательная к у(t) в середине элементарного отрезка

L₃ параллельно L₂ через т. А

C

t₁

Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера.

Расчётные формулы:

- значение функции в середине отрезка [t₀,t₁].

- значение функции в конце отрезка [t₀,t₁].

Формула модифицированного метода Эйлера:

(4.4)

y_{0 – известно.} i=0,…N-1

Оба метода предполагают, что значение решения в следующей точке вычисляются

по формуле:

Подставляя значение t=t_i+h и соответствующий угловой коэффициент K, будем получать

тот или иной метод.

Метод Эйлера: K_i=f(t_i,y_i)

Усовершенствованный (модифицированный) метод Эйлера:

Рассмотрим с точки зрения геометрии еще один метод, называемый методом Эйлера-Коши:

(4.5)

L₁- касательная к у(t) в начальной точке А, с tg₀ = f(t₀, y₀).

т. В – значение вычисляется по формуле Эйлера.

L₂ – касательная к у(х) в точке В, с tg₁ = f(t₁, ).

L₃ – прямая через В со среднеарифметическим углом наклона.

L₄ - прямая, паралельная L₃, проведенная через точку А.

§ 4.4. Правило Рунге.

Для практической оценки погрешностей используют правило двойного пересчета -

правило Рунге. Пусть - приближенное решение задачи, найденное с помощью метода,

например, Тейлора, который имеет порядок точности p.Тогда по построению локальная погрешность имеет порядок p+1:

Уменьшим шаг вдвое и сделав 2 шага с шагом найдем решение в той же точке

Вычитая из нижнего равенства верхнее, получим следующее приближенное равенство:

Это означает, что можно оценить величину локальной погрешности решения, полученного с половинным шагом:

(4.6)

Формула (4.6) называется формулой двойного пересчета или правилом Рунге.

Вычислим методом Эйлера решение с шагом h/2=0.1.

Точное решение	1		0.91451225		0.85619226		0.82245466
Метод Эйлера	1		0.9		0.83		0.787
Метод Эйлера	1	0.95	0.9075	0.872125	0.84351875	0.8213428125	0.8052756719
	0		0.075		0.01351875		0.0182756

Выберем в качестве меры погрешности величину 0.0183. Заметим, что настоящая погрешность в точке 0.6 равна 0.0172.