ЛЕКЦИЯ 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ.

ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] Глава 14. §14.1,14.2,14.3

§ 4.1 Постановка задачи Коши.

Пусть дано ОДУ 1-го порядка. Требуется найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению и начальному условию:

при (4.1)

Геометрически задача (4.1) состоит в нахождении интегральной кривой, выходящей из точки , которая в каждой точке имеет заданное направление касательной .

Пример 4.1. Рассмотрим простой пример.

(4.2)

Решение задачи. Уравнение решается методом разделения переменных:

, , , , , общее решение.

Подставляя начальное условие, имеем: , . Окончательно,

Конкретизируем задачу 4.2.

Решением задачи является функция

Можно найти несколько значений функции:

Как правило, решение задачи будем искать на конечном отрезке .

Обозначим через и будем называть это множество полосой.

Всюду далее предполагается, что функция является дифференцируемой достаточное количество раз. Сформулируем теорему о разрешимости задачи Коши.

Теорема 4.1. Пусть функция определена и непрерывна в полосе . Предположим также, что справедливо неравенство . Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши (4.1) , определенное на отрезке . Кроме того, если функция непрерывно дифференцируема m раз в полосе , то функция непрерывно дифференцируема (m+1) раз на этом отрезке.

§ 4.2. Дискретизация задачи коши. Методы Тейлора и Эйлера.

Заменим отрезок - область непрерывного изменения аргумента t множеством дискретных значений : называется сеткой. Обозначим - шаг сетки. Будем далее считать, что сетка равномерная, то есть , , , i=0,1, …N. Точное решение в точке будем обозначать , а приближенное решение в той же точке будем обозначать через . Если важно указать с каким шагом вычислили приближенное решение, то будем обозначать ..

Решением задачи Коши является таблица приближенных значений:

		…

Метод разложения по формуле Тейлора.

Воспользуемся разложением функции y(t) по формуле Тейлора:

(4.3)

Здесь - остаточный член формулы Тейлора.

Если значение решения y в точке t известно, то в силу уравнения (4.1) значение производной также известно. Теперь найдем производные

, , …

,

И т.д.

Метод, основанный на удержании членов разложения до p-го порядка включительно, называется методом разложения по формуле Тейлора, p-го порядка.

Например, расчетная формула метода Тейлора 2-го порядка имеет вид:

На практике метод применяется довольно редко, так как вычисление производных

высокого порядка является трудоемкой задачей.

Метод разложения по формуле Тейлора для ПРИМЕРА 4.1

Производные вычисляются просто:

, , , и т.д.

Следовательно, расчетная формула примет вид:

Для конкретного примера имеем:

Возьмем шаг h=0.1:

ПРИМЕР 4.2.

Выберем шаг h=0.2

Заметим, что производные можно вычислить по общей формуле

Или (что тоже самое):

Таким образом, расчетная формула метода имеет вид:

Результаты расчетов:

=

Значение получено. Найдем решение в следующей точке:

=0.85617008

В этой задаче можно найти точное решение. Рассмотрим дифференциальное уравнение

и найдем решение однородного уравнения: .

Разделяя переменные, получим , откуда .Легко проверить, что частным решением исходного уравнения является функция . Тогда получили решение дифференциального уравнения . Подставляя начальное условие, найдем константу с:

Вычислим значения точного решения в найденных точках: y(0.2)=0.91451225

y(0.4)=0.85619226

Точное решение	1	0.91451225	0.85619226	0.82245466
метод Тейлора	1	0.9145	0.85617008	0.82242456

Метод Эйлера.

Простейшим и исторически первым методом решения задачи Коши является метод Эйлера :

(4.3)

Его можно получить, если в разложении по формуле Тейлора оставить всего 2 члена

разложения. Геометрическая интерпретация состоит в аппроксимации решения на шаге касательной , проведенной в точке к интегральной кривой y(t).

Метод Эйлера для примера 4.1.

Возьмем шаг h=0.1

Точное решение	1000	1002.00200134	1004.00801677	1006.018360541
Метод Тейлора	1000	1002.0020013	1004.0090167	1006.018360521
Метод Эйлера	1000	1002	1004.004	1006.012008

Рассмотрим решение задачи из ПРИМЕРА 4.1 методом Эйлера:

Выберем шаг h=0.2

=

=

=

Точное решение	1	0.91451225	0.85619226	0.82245466
Метод Эйлера	1	0.9	0.83	0.787

ОПР. Будем называть погрешностью сеточную функцию со значениями в узлах равными

Напомним, что - приближенное решение задачи, а - точное решение задачи в точке .

ОПР. В качестве меры погрешности метода примем величину .

ОПР. Будем говорить, что метод сходится с p-ым порядком точности по h, если справедливо неравенство: , где c – константа, не зависящая от h.

Обычно в вычислениях величину называют погрешностью на шаге

и обозначают через . Величину называют глобальной погрешностью.

Сведем результаты в единую таблицу:

Точное решение	1	0.91451225	0.85619226	0.82245466
метод Тейлора	1	0.9145	0.85617008	0.82242456
- погрешность на шаге метода Тейлора	0	0.00001225	0.00002218	0.00003010
Метод Эйлера	1	0.9	0.83	0.787
- погрешность на шаге метода Эйлера	0	0.01451225	0.02619226	0.03545466

E(h)= 0.00003 для метода Тейлора

E(h)= 0.04 для метода Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

З ная (t₁,y₁), можно аналогично получить новую точку (t₂,y₂) и т.д.

Из геометрической иллюстрации следует, что:

1. На каждом шаге есть погрешность (на рисунке это отрезок BD). Погрешность тем больше, чем больше шаг.

2. Ошибка может накапливаться.