Лабораторная работа 6. Численное решение задачи коши для дифференциальных уравнений.

Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 14].

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) решение поставленной задачи; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо); 6) тексты программ.

Варианты заданий к задачам 6.1-6.2 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 6.А.

Задача 6.1. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) 1 порядка с точностью .

(1)

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти аналитическое решение задачи (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 6.B).

2. Составить программу вычисления решения методом Эйлера. Найти решение задачи с постоянным шагом . Построить график погрешности.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, найти приближенное решение задачи Коши с шагом по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности. Построить график погрешности.

4.Составить программу вычисления решения методом Эйлера с заданной точностью, используя правило Рунге. Найти решение задачи с точностью , число точек N и шаг, при котором точность достигается. Построить график решения.

5. Сравнить полученные результаты.

6. Оформить отчет по задаче.

Задача 6.2. Задача Коши для ОДУ 1 порядка

(2)

.

описывает химическую реакцию взаимодействия двух веществ. Здесь А и В - первоначальная концентрация первого и второго веществ , - скорость химической реакции, описывает концентрацию вещества C, образовавшегося в результате химической реакции в момент времени t. Найти приближенное решение задачи и вычислить указанные в варианте величины.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.5 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 6.B) при значении .

2. Увеличивая значение , экспериментально найти такое значение TN , при котором процесс химической реакции устанавливается. За момент TN принять то значение , при котором: .

3. На отрезке построить точечный график найденного решения , i=0..N.

4. Найти скорость химической реакции в точках , i=0..N и построить точечный график на отрезке .

5. Вычислить энергию химической реакции по формуле: . Интеграл вычислить формуле индивидуального варианта .

6. Задать множество значений параметра , j=1..10 . Для каждого значения параметра найти приближенное решение задачи Коши (2) методом, указанным в индивидуальном варианте, на отрезке по времени с шагом h=0.1.

7. Для каждого полученного решения вычислить интеграл и определить значение параметра , соответствующее максимальному значению интеграла.

8. Построить графики найденных решений , графики скоростей реакции , при разных значениях параметра .