Практическое занятие 7

Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Математические методы моделирования физических процессов

Файл:

(P , f ) =

P (x ) − f

(P , f ) =

P (x ) − f

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

200.98 Кб

Скачать

☆

Практическое занятие №6 по численным методам.

Приближение функции по методу наименьших квадратов.

1.Приближение функций многочленами (РЗ №13).

2.Приближение функций по произвольной системе (РЗ №14).

3.Многочлены Лагранжа и Ньютона.

1. Приблизить функцию по методу наименьших квадратов многочленами нулевой, первой и второй степеней. Вычислить СКО и на одном чертеже построить графики многочленов. Дано:

-2

0.4

1.8

2.1

2.7

Нормальная система метода наименьших квадратов:

+ ... +

i=0

+ ... +

m+1

i=0

..........................................................................................

m+1

m+2

+ ... +

i=0

Очевидно, что система является симметричной. Для практического использования запишем систему в виде:

s a

+ s a

+ s

...

+ s

= b

1 1

s a

+ s a

+ s

= b

...

2 1

..........................................................................................

+ s

a + s

m+2

+ ...

+ s

= b

m+1 1

где sk = xik

= fi xik .

i=0

1.	P (x) = a		, в таблице 4 точки, следовательно
	0	0
2.	m =1,	P (x) = a		+ a x	Система уравнений:
		1	0	1

a	= 7 / 4
0
	s0a0 + s1a1	= b0	,
		= b1	,
	s1a0 + s2a1	= b1

Вычислим коэффициенты системы:

s0 = 4 , s1 = 2 , s2 =14 , b0 = 7 , b1 = 9.4

Таким образом, система имеет вид:

4a		+ 2a = 7		4a + 2a = 7			, 26a1 =11.8 , a1 =11.8 / 26 = 0.454 ,
	0	1	,		0	1	, 26a1 =11.8 , a1 =11.8 / 26 = 0.454 ,
2a0		+14a1 = 9.4		4a0		+ 28a1 =18.8

a = (7 − 2a ) / 4 =1.523 , Итак,		P (x) =1.523 +0.454x
0	1	1

3 .	m = 2	,	P (x) = a		+ a
			2	0	1

Досчитаем коэффициенты:

x + a x		2
x + a x
	2
s	= 20
3

. Тогда система примет вид:

4a		+ 2a +14a		2	= 7
	0		1
	2a	+14a + 20a				= 9.4
					2
	0		1
			+ 20a + 98a			= 28
14a
		0	1			2

P (x) =1.723 + 0.521x −0.067x	2
P (x) =1.723 + 0.521x −0.067x
2

Вычисление СКО:

					1	3						2
(P ,			f ) =		1			P (x ) − f				2	=
(P ,			f ) =					P (x ) − f				i	=
		0			4				0	i		i
					4	i=0
						i=0
	1	(0.4 −		1.75)			2	+ (1.8 −1.75)					2	+ (2.1			−1.75)	2	+ (2.7 −1.75)	2	=
							2						2					2		2

	4
	4
=		1	(1.35	2	+ 0.05				2	+ 0.35	2	+ 0.95			2	) =	2.85		0.84
				2					2		2				2
		4															4
		4															4

Для вычисления остальных значений СКО можно свести в таблицу значения многочленов:

x				-2	0	1	3
x	i
	i

y				0.4	1.8	2.1	2.7
y		i
		i

P ( x )				0.615	1.523	1.971	2.885
	1		i
P			( x )	0.413	1.723	2.177	2.683
	2		i

0.208

	1	3				2
(P , f ) =	1		P (x ) − f			2	= 0.055
(P , f ) =			P (x ) − f		i		= 0.055
2	4		2	i	i
	4	i=0
		i=0

Графики:

P( a01 0 t)

P( a11 1 t)2

P( a21 2 t)
1
y1i
0
− 2	− 1	0	1	2	3

t t t x1i

ОТВЕТ: Наилучшее приближение многочленом P2 (x) =1.723 + 0.521x −0.067x2

2. Приближение по обобщенной системе.

Дана таблично заданная функция:

-1

1.5

-0.5

-6

Известно, что функция имеет вид:

y =

f (x) = a +b 3

. Найти коэффициенты

Найдем нормальную систему МНК:

2 .

( m

, f ) =

m (xi ) − yi

a + b 3xi − yi

n +1 i=0

Будем минимизировать функцию:

				n				−
(a,b) = (a + b 3						x		−
						i
				i=0
(a, b)				n
(a, b)				= 2 (a + b			3		x
				= 2 (a + b			3			i
										i
	a			i=0
				i=0
(a, b)				n
(a, b)				= 2 (a + b 3				x
				= 2 (a + b 3					i
									i
	b			i=0
				i=0
Таким образом,
	n			n	yi
a + 3xi b =					yi
i=0				i=0
	n			n	b =
3			a + 3		b =
		xi		2 xi
i=0				i=0

i )
y	2

−yi

yi 3xi

. Условие экстремума:

) 1 = 0
) 3	x	= 0
	i

окончательно,

	n		n	yi
a + 3xi b =				yi
i=0			i=0
	n		n	b = yi	3
3			a + 3	b = yi	3
		xi	2 xi			xi
i=0			i=0

и	b	.

4a +13			1	b = −3
4a +13				b = −3
			3
	1				1		Коэффициенты системы: a = 2.321	, b = −0.921
	1	a + 91			1	b = −53	Коэффициенты системы: a = 2.321	, b = −0.921
13
13
	3				9
	3				9

Аппроксимирующая функция: y = f (x) = 2.321−0.921 3x

Среднеквадратичное приближение: 0.396

Графики:

	4
	2
f(t)	0

y1i − 2

−4

−6

−1 0 1 2

t x1i

3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона и записать их в канонической форме. Функция задана таблицей:

x	i	−1	0	1
	i

y	i	−8 / 3	−2	0
	i

L (x) = −

(x − 0)(x −1)

− 2

(x +1)(x −1)

+ 0

(x +1)(x − 0)

Решение.

(−1− 0)(−1−1)

(0 +1)(0 −1)

(1+1)(1− 0)

− x

−1

(x) = −

−

+ 0 = −

x − 2

−1

L2 (x) =

x2 +

x − 2

L (x ) = y

i = 0...2

, можно проверить, что

2 i

i ,

Многочлен Ньютона:

−1

1 P2 (x) =

P2 (x) =

−8 / 3 −2

−8 + 2

3 3

23 x2 + 43

2 / 3	4 / 3
2

x +1	+	4	(x +1) x	= −	8	+	2	x +	2	+	2	(x	2	+ x)
	+		2	= −		+		x +		+		(x		+ x)

1!		3	2!1		3		3		3		3

x − 2

Окончательно,

Заметим, что исходная функция представляет собой таблицу значений функции:

f (x) = 3x −3 . Проверим , насколько отличаются значения. Возьмем, например, точку

=1/

f (1/ 2) =

3 −3 = −1.2679

;

L(1 / 2) =

−1.16(6)

. Погрешность

составляет:

R(1/ 2) =

f (1/ 2) − L(1/ 2) = −1.2679 +1.16(6) = 0.1013

Соседние файлы в папке Практики

#
16.05.2024203.63 Кб0Практическое занятие 8.pdf
#
16.05.2024200.98 Кб0Практическое занятие 7.pdf