Практическое занятие 8

Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Математические методы моделирования физических процессов

Файл:

107.5 − 106.25

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

203.63 Кб

Скачать

☆

Практическое занятие №8

Теоретический материал в Лекции . «Приближение функции по методу интерполяции». 1. Оценки погрешности интерполяции 2.Кусочно полиномиальная интерполяция.

3. Сплайны.

Задача 1. Функция задана таблицей. Найти ее значения в точках	x = −0.8	,

x = 0.6			.
			.
	x	i	−1	−0.5	0	0.3	0.5	0.8	1	1.2
		i

	y	i	2	1.6	0.4	0	−1	0.6	0.9	1.5
		i

Воспользуемся частными случаями интерполяционных многочленов.

0.4

		L (x) = 2 +				1.6 − 2			(	)
									(	)
Решение.										x +1	,	L (−0.8)	=1.84
		1										L (−0.8)	=1.84
						0.5						1


Значение в точке			x = 0.4					можно вычислить с помощью локального полинома Ньютона
Значение в точке								можно вычислить с помощью локального полинома Ньютона
2-ой степени.

	0.3	0
				-5
	0.5	−1						310/15

				16/3

	0.8	0.6

L	(x) = 0 − 5(x − 0.3)						+	310		(x − 0.3)(x − 0.5)
L	(x) = 0 − 5(x − 0.3)						+			(x − 0.3)(x − 0.5)
2								15
								15
L	(0.4) = −0.5 +			62		(0.1)(−0.1) = −0.706(6)
L	(0.4) = −0.5 +					(0.1)(−0.1) = −0.706(6)
2				3
				3
L (0.6) = −5 0.3 +					62		(0.3)(0.1) = −0.88
L (0.6) = −5 0.3 +							(0.3)(0.1) = −0.88
2						3
						3

Задача 2. Выполнить априорную оценку приближения функции многочленом второй степени на отрезке [-1,1].

f (x) = 3	x	−3

R ( x) = f (x) − P (x)

Mn+1

(x)

Решение. Воспользуемся оценкой:

(n +1)!

n+1

( x) =

f (x) − L (x)

M 3

(x +1)x(x −1)

. Найдем третью производную функции.

f (x)

M	3	=
	3

= 31

3x ln

ln
3	3

3	,

=

f (x) = 3	x	ln	2

3.9779069 4

f (x) = 3	x	ln	3	3
	x		3

R (1 / 2) =	f (1 / 2) − L (1 / 2)	4	(3 / 2)(1 / 2)(	−1 / 2)	=1 / 4 = 0.25

2	2	3!

Теоретическая погрешность ( как обычно) больше.

Еще задача на использование теоретической оценки погрешности.

Задача 3. Выполнить линейную интерполяцию функции

[100,110]	и оценить погрешность .

Решение. Возьмем 2 точки: x0 =100 , f (x0 ) =10 , x1

f(x) = x

=110 ,

на отрезке

f (x ) =	110
1

10.488

P (x) =10 +

10.488

−10

−100) =10 + 0.0488 (x −100)

( x) =

f (x) − P (x)

(x −100)(x −110)

M 2	= max	1
			3
	[100,110] 4	x

1 4 1000

0.00025

. ,

R	(x) = 0.000125	(x −100)(x −110)
R	(x) = 0.000125	(x −100)(x −110)
1

Можно найти максимум погрешности. Для этого нужно взять максимальное значение квадратичной функции на отрезке: max (x −100)(x −110) = 5 5 = 25 .

		[100,110]
Тогда максимальная гарантированная погрешность функции равна:
R (x) =	f (x) − P (x)	0.000125 25 = 0.003125	для любой точки из отрезка
1	1		для любой точки из отрезка
[100,110] .

				P (107) =10.3416
Например, f (107) =		107 =10.3440804 ,		P (107) =10.3416	,
				1
	f ( 107) − P (107)	=0.0024804	- укладывается в теоретическую погрешность.
	1		- укладывается в теоретическую погрешность.

Задача 4. Использование более грубой оценки для таблиц с постоянным шагом.

Rn (x) = f (x) − Pn (x) 4(Mnn++11) hn+1 , где h- шаг таблицы.

С каким шагом нужно протабулировать функцию

f (x) =

на отрезке

[100,110]

чтобы значение во внутренней точке отрезка восстанавливалось с точностью

=10	−4

Решение.

R	( x) =	f (x) − P (x)

1		1

M	2	h	2


4 2

=	0.00025	h
		2
	8

10	−4

. Находим шаг:

h	8 / 0.00025 10	−2	=178.8854382 10	−2	=1.7888...

Обычно шаг берут таким образом, чтобы				hn =

равным	h =1.25	, тогда	n = (110 −100) / h

b − a =10

. Например, можно шаг взять

/ 1.25 = 8	. Тогда можно построить

линейную интерполяцию для точки

=107

, например, так:

x	=106.25		,	f (x	) =	106.25 =10.3077641		,
0			,	0				,
f (x ) =		107.5 =10.3682207					. Таким образом:
	1						. Таким образом:

x	=107.5
1

P 1

−106.25)	,

(0.75) =10.344038

. Осталось сравнить с

настоящим значением:

f (107) =

107

=10.3440804

. Точность достигнута.

Разделенные разности. (понятие РР см. Лекцию 10).

Задача 5. (ТР 16) Построить многочлен по таблице значений, найти значение функции в промежуточной точке и оценить практическую погрешность.

ПРИМЕР.

1	1
	(2-1)/0.5 =2
1.5	2	(-4-2)/(2-1)=-6
	(0-2 )/0.5 = -4	(10/3 +6)/(3-1)=28/6=14/3
2	0	(1+4)/(3-1.5)=10/3
	(1-0)/1 =1
3	1

P3 (x) =1+ 2 (x −1) −6(x −1)(x −1.5) +14 / 3(x −1)(x −1.5)(x −2)

Для оценки погрешности используют следующий способ.

Rn ( x) = f (x) − Pn (x) f (x0 , x1,..., xn , x) n+1(x)

Тогда очевидно,

P	(x) − P (x) =
n+1	n

(x	,
0

x	,...x	,
1	n+1

x)	(x)
n+1

. Если величина


x	n+1	− x	мала, а функция достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство:
	n+1
f (x0 ,...xn , x) f (x0 ,...xn , xn+1) из которого следует, что
f (x) − Pn (x) Pn+1(x) − Pn (x) . Таким образом, величину				n	= P	( x) − P ( x)	можно
f (x) − Pn (x) Pn+1(x) − Pn (x) . Таким образом, величину				n	n+1	n	можно

использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

Например, если вычислять значение функции в точке	x =1.25	:

Можно воспользоваться многочленами последовательно, первой, второй и третьей степеней :

P (x) =1+ 2 (x −1)	,	P (x) =1+ 2 (1.25 −1) =1.5
1	,	1

P (x) =1+ 2 (x −1) −6(x −1)(x −1.5)	P (x) =1.875
2	2

P3 (x) = 2.09375

Ответы:

(1.25)

=1.5

0.375

f (1.25) =1.875 0.219

Для значения

P3 (x) = 2.09375

оценки погрешности нет.

При решении задачи 15 требуется предварительно переупорядочить узлы интерполяции , учитывая положение заданной точки.

Задача 1. Построить линейный сплайн по заданной таблице:

x	i	3	5	8
	i

y	i	4	2	5
	i

Очевидно, что сплайн выглядит так:

(x) = y

y1 − y0

(x − x ) = 4 +

2 − 4

(x − 3) = 7 − x,

x [3

1,1

x1 − x0

5 −3

(x) =

y2 − y1

5 − 2

(x) = y

(x − x ) = 2 +

(x −5) = −3 + x,

x [5

1,2

x2 − x1

8 −5

Дефект сплайна равен 1.

Задача 2. (РЗ 17) Построить квадратичный сплайн для той же функции.

Будем искать сплайн в общем виде (по определению)

(x) = a

+ a x + a x2 ,

x [3

2,1

(x) =

+ b1x + b2 x2 ,

P2,2 (x) = b0

x [5

Заметим, что в задаче 6 неизвестных: a0 , a1, a2 ,b0 ,b1,b2

Потребуем выполнения следующих условий:

1.	S		(x ) =
1.		2	i
	P		(x ) =
	2,1		0
P			(x ) =
	2,1		1
	P		(x ) =
	2,2		1
P			(x ) =
	2,2		2

yi , y0 y1 y1 y2

i = 0..n		- условие интерполяции дает 4 уравнения :
		- условие интерполяции дает 4 уравнения :
a	+ a 3 + a 9 = 4
0	1		2
a	+ a 5 + a 25 = 2
0	1		2
b + b 5 + b 25 = 2
0	1		2
b +b 8			+b 64 = 5
0	1		2

2. Производная сплайна должна быть непрерывна. Так как внутренняя точка всего одна, то получаем еще одно условие:

P	(x ) = P		(x )
2,1	1	2,2	1

a + 2a x		x=5	= b + 2b x		x=5
a + 2a x			= b + 2b x
1	2		1	2

a +10a		= b +10b
1	2	1	2

Итого, имеем 5 уравнений и 6 неизвестных. Поставим дополнительное условие.

S2 (3) = 0

тогда,

a + 2a		x	x=3
1	2

a + 6a		= 0
1	2

Тогда систему уравнений запишем в следующем виде:

a	+ a 3 + a 9		= 4
0	1	2
a	+ a 5 + a 25 = 2
0	1	2
			b + b 5		+ b 25 = 2
			0	1		2
			b +b 8		+b 64 = 5
			0	1		2
	a +	10a −		b − 10b			= 0
	1		2		1	2
	a + 6a		= 0
	1	2

Можно записать систему уравнений в матричной форме

Ac = d

, где

- матрица системы

					a0
					a
						1
					a		2
				c =			2
уравнений, вектор				c =				, вектор
уравнений, вектор					b0			, вектор
					b
						1
					b
						2
	1	3	9	0		0		0
	1	5	25	0		0		0
	1	5	25	0		0		0
	0	0	0	1		5		25
A =	0	0	0	1		8		64
	0	0	0	1		8		64	.
	0	1	10	0	−1			−10

	0	1	6	0		0		0
	0	1	6	0		0		0

	4
	2
	2

	2
d =	5	, матрица
	5	, матрица

	0
	0

	0
	0

Решение системы:

A имеет вид:

	−0.5
	3
	3
	−0.5
c =	37
	37
	−12

	1
	1

Ответ:

График:

P		(x) = −0.5 + 3x − 0.5x			2	,	x [3
	2,1
S2 (x) =	P	(x) = 37 −12x + x	2	,			x [5
			2

	2,2

Дефект сплайна равен 1.

	5
	4
P( t)	3

2
1
3	4	5	6	7	8
			t

Домашнее задание: Выполнение РЗ 15 , 16 и 17.

Соседние файлы в папке Практики

#
16.05.2024203.63 Кб0Практическое занятие 8.pdf
#
16.05.2024200.98 Кб0Практическое занятие 7.pdf