ЛЕКЦИЯ 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §§11.5, 11.8 - 11.10 [2] §§1,2

[2] К.О. Казенкин. Приближение функций. Численное интегрирование. Численное дифференцирование.МЭИ. 2012.

§11.1 Многочлен Лагранжа.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ,

Пусть функция задана на множестве дискретных точек , , … , предполагаем дополнительно, что при . Задача интерполяции состоит в построении функции такой, что , .

Будем приближать функцию интерполяционным многочленом степени n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен степени n, удовлетворяющий условию , называется интерполяционным многочленом.

Заметим, что многочлен содержит n+1 неизвестный коэффициент . Можно написать такую систему равенств, состоящих из n+1 уравнения:

(11. 1)

ТЕОРЕМА 11.1. Интерполяционный многочлен существует и единственен.

Доказательство. Система (11.1) имеет единственное решение. Действительно, рассмотрим определитель системы :

Это есть определитель Вандермонда. Если среди узлов интерполяции нет одинаковых, то

он не равен нулю. Выше было сделано предположение, что при .

По теореме Крамера: если матрица квадратной системы линейных уравнений невырождена, то решение системы существует и единственно. Ч.т.д.

Рассмотрим многочлен следующего вида:

(11.2)

(11.2) - многочлен представляет собой сумму n+1 слагаемого, каждое из которых есть многочлен степени n. Подставим в узел . Заметим, что к-ое слагаемое при обращается в ноль, а при числитель и знаменатель дроби совпадают, и мы получаем значение . Таким образом, многочлен (11.2) представляет собой интерполяционный многочлен.

Эта форма записи интерполяционного многочлена называется многочленом Лагранжа.

Запишем два частных случая этого многочлена довольно часто встречающихся в практике

Линейная интерполяция. Пусть функция задана значениями в двух точках:

x
f(x)

Тогда многочлен Лагранжа примет вид:

Квадратичная интерполяция. Пусть функция задана значениями в трех точках:

x
f(x)

Тогда многочлен Лагранжа примет вид:

ПРИМЕР 11.1. Рассмотрим задачу вычисления функции для значений и . Эту задачу будем решать методом интерполяции. Приблизим исходную функцию на отрезке [9,16] многочленом Лагранжа 1-ой степени. Для этого возьмем два узла интерполяции и . Тогда и .

Составим многочлен по формуле (11.2).

Для удобства перепишем еще раз:

Теперь вычислим значения в указанных точках:

, для сравнения значение ,

Аналогично для 2-го числа

, для сравнения значение

§11.2 Погрешность интерполяции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина называется остаточным членом интерполяции или погрешностью интерполяции.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 11.2. (без доказательства). Пусть функция дифференцируема (n+1) раз на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции . Тогда для погрешности интерполяции в точке справедлива оценка:

(11.3)

Где ,

ПРИМЕР 11.2. Оценим величину погрешности для выше рассмотренного примера.

, ,

Ясно, что .Тогда

Наряду с интерполированием применяют и экстраполирование, то есть вычисление значений функции вне отрезка интерполяции. При этом величина погрешности экстраполяции существенно выше, чем интерполяции. Это связано с поведением функции

Например,

, погрешность равна 0.07.

Для оценки погрешности можно использовать более простую оценку, в случае, если шаг таблицы постоянный:

(11.4)