Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Математические методы моделирования физических процессов

Файл:

ЛЕКЦИЯ 9

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

269.84 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,

§9.1 Поиск экстремумов функций.

Пусть f(x) –функция одной переменной, определенная на некотором отрезке [a,b].

Если функция является дифференцируемой, то в точке экстремума должно быть выполнено необходимое условие экстремума

В этом случае мы приходим, как правило, к решению нелинейного уравнения, которое

можно решать итерационными методами.

Пример 9.1. Пусть требуется найти экстремум функции одной переменной с заданной точностью:

Решение – см. ПРИЛОЖЕНИЕ 9.1.

В случае поиска экстремумов функций многих переменных возникает проблема решения систем нелинейных уравнений.

Пусть дана функция: .Требуется найти точки экстремума функции.

Если записать необходимое условие экстремума, то получим систему нелинейных уравнений:

…..

Рассмотрим более подробно методы решения этой проблемы.

§9.2 Решение систем нелинейных уравнений.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений.

(9.1)

Ее можно записать в матричной форме: , если ввести вектор-функцию

(9.2)

Рассмотрим различные способы решения системы, основанные на уже известных, изученных методах решения задачи.

Нелинейный метод Якоби. Выберем начальное приближение . Для отыскания следующего приближения необходимо решить m независимых скалярных уравнений. То есть i-ая компонента решения находится из уравнения:

(9.3)

Для решения скалярного уравнения (9.3) можно применять любой из итерационных методов, рассмотренных в семестре.

Нелинейный метод Зейделя. Выберем начальное приближение . Для отыскания следующего приближения необходимо также решать m независимых скалярных уравнений. Но i-ая компонента решения находится из уравнения с учетом вычисленных компонент.

(9.4)

Для решения скалярного уравнения (13.4) можно применять любой из итерационных методов, рассмотренных в семестре.

ПРИМЕР 9.1. Найти решение системы уравнений:

Локализуем корни уравнения.

Преобразование системы к виду, удобному для итераций:

Из представленного графика следует, что:

, .

Далее считаем нелинейным методом Зейделя:

, далее:

Дальше вычисления сведем в таблицу:

n
0	0.2	1
1	0.3678794	1.444667	0.44
2	0.2358245	1.2659521	0.18
3	0.2819707	1.3257399	0.06
4	0.26560636	1.30422156	0.02
5	0.2713837	1.31177831	0.007
6	0.26934066	1.3091010	0.002
7	0.27006273	1.310046	0.0009

Метод сходится очень медленно.

Метод эквивалентен модифицированному методу простой итерации.

Вернемся к теореме о сходимости метода простой итерации.

Если в окрестности корня функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию

то метод простой итерации сходится .

Для систем нелинейных уравнений метод имеет тот же вид, понимаемый в векторной форме:

где - это вектор-функция, которая для данного примера имеет вид: . Проверим условие сходимости:

Ясно, что на отрезке локализации корня.

В этом случае условие сходимости не выполнено. Но метод все-таки сходится.

Попробуем воспользоваться более быстро сходящимся методом.

МЕТОД НЬЮТОНА.

Итак, считаем, что корень локализован x^* [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε. Метод Ньютона – метод касательных:

_{Напомним вывод расч}eтной формулы метода Ньютона. Пусть

_k_{-ое приближение
к корню.составим уравнение касательной
к графику в точке}

Чтобы найти следующее приближение подставим его в функцию и приравняем к нулю, что соответствует пересечению касательной с осью Ox:

Отсюда находим значение и тем самым расчетную формулу метода Ньютона:

Теорема. (о сходимости) Пусть – простой корень уравнения (1), в некоторой окрестности которого функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая -окрестность корня, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

Последняя оценка означает, что метод сходится квадратично, то есть на каждой итерации число верных цифр, грубо говоря, удваивается.

Из этой оценки выводится критерий окончания итераций для метода Ньютона:

Трудности использования метода Ньютона.

Одна трудность состоит в необходимости вычислять производную функции на каждой итерации. Более существенная трудность состоит в локальной сходимости метода. Это означает, что областью сходимости является некоторая малая -окрестность корня. Неудачный выбор начального приближения может вывести из окрестности локализации корня.

Вернемся к исходной системе (13.1) и разложим каждую функцию в ряд Тейлора, оставив только линейную часть этого разложения:

Тогда придем к системе линейных алгебраических уравнений:

Если ввести в рассмотрение матрицу Якоби: ,

то метод Ньютона можно записать в следующей векторной форме:

Если предположить, что матрица невырожденная, то существует

обратная матрица и вычисления можно делать по формуле:

ПРИМЕР 2.Найти решение системы уравнений методом Ньютона.

Локализация корней.

Имеются две точки локализации (-0.5, 0.5) и (1,1).

Найдем матрицу Якоби для задачи:

Обратная матрица :

Окончательно , расчетная формула метода примет вид:

Итерируя по формуле, можно найти решения системы:

(-0.3573;0.37769) и (1.2181;0.98396)

Обычно процесс вычислений организуют без использования обратной матрицы, а на основе решения СЛАУ. Введем вектор

С помощью вектора запишем метод Ньютона так:

Теперь запишем последнее равенство в виде системы:

Получили систему нелинейных уравнений. Чтобы ее упростить, возьмем для решения упрощенный метод Ньютона. Для этого вычислим матрицу Якоби в точке начального приближения:

Получили СЛАУ относительно вектора . После этого находим

. Вычисления выполняем до тех пор пока: .

Вернемся к примеру.

. Вычислим матрицу A.

Проведем вычисления:

n
0	0.2	1	0.05963444 0.29424043	0.29424043
1	0.25963444	1.29424043	0.00942261 0.01372444	0.01372444
2	0.26905705	1.30796487	0.00071156 0.00163403	0.00163403
3	0.26976861	1.3095989	0.00009433 0.00017768	0.00017768