§ 8.3. Решение переопределенных систем.

Пусть требуется решить систему из n линейных уравнений с m неизвестными, где n>m:

(8.10)

Системы такого вида называются переопределенными системами.

Для переопределенной системы нельзя найти вектор x , который точно удовлетворяет уравнениям системы. Переформулируем задачу и попытаемся минимизировать норму вектора невязки: Эта задача имеет решение, так как представляет собой квадратичную форму, точка минимума у этой формы имеется.

Будем предполагать дополнительно, что матрица системы (8.10) является матрицей

полного столбцового ранга, то есть столбцы матрицы линейно независимы. В этом случае, Докажем следующую теорему.

Теорема 8.2. Вектор минимизирует величину тогда и только тогда, когда он является решением системы (8.11):

(8.11)

Доказательство: Очевидно, что имеем:

Отсюда вытекает, что

Обозначим . Очевидно, что , если - решение системы (9.2).Тогда:

Это неравенство и означает, что минимизирует . Если не является решением нормальной системы (8.11), то . Возьмем . Тогда

Для всех достаточно малых . Это означает, что не обладает свойством минимизации нормы вектора невязки. Ч.т.д.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Матрица - является симметричной и положительно определенной, если A- матрица полного столбцового ранга.

Доказательство: Возьмем произвольный вектор x и найдем

Так как матрица A является матрицей, состоящей из линейно независимых столбцов, то

равенство будет выполняться .

Теорема 8.3. Система (8.10) имеет единственное решение когда матрица A-

матрица полного столбцового ранга.

Доказательство: Так как - симметричная и положительно определенная матрица, она не является вырожденной. Следовательно, система (9.2) имеет единственное решение.

Для решения системы имеет смысл применять метод Холецкого.

ПРИМЕР. Пусть дана переопределенная система:

Запишем матрицу A и вычислим ее ранг.

Можно выполнить преобразование : взять 3 строку и прибавить ее к

1-ой и 2-ой строкам: и легко видеть, что есть базисный минор: . Следовательно, А - матрица полного столбцового ранга. Найдем матрицу и запишем систему (8.11): .

Найдем правую часть:

Таким образом, получили систему уравнений

Решением системы является вектор . Вектор невязки при этом

равен . .