§ 8.2 Метод простой итерации с параметром.

Пусть - симметричная положительно определенная матрица. То есть . Известно, что у таких матриц все собственные значения . Найдем условие на параметр для таких матриц.

Для этого найдем связь собственных чисел матрицы и матрицы S. Докажем, что ,

а собственные векторы матрицы A являются также собственными векторами матрицы S. Пусть -

собственный вектор матрицы , тогда: . Теперь запишем равенство:

Полученное равенство доказывает утверждение.

Теперь рассмотрим необходимое и достаточное условие сходимости.

Раскроем модуль: . Тогда: . Так как все собственные числа матрицы

A положительны и параметр также положительный, то условие сходимости будет выполнено, если

выполняется неравенство:

(8.6)

Методом простой итерации для симметричной положительно определенной матрицы с оптимальным параметром называется метод, когда параметр выбирается следующим образом:

. (8.7)

Собственные числа матрицы S равны : . При выборе параметра как указано выше, получим:

Это значение параметра называется оптимальным, а метод называется методом простой итерации

с оптимальным выбором параметра.

Представим матрицу A в виде суммы 3-х матриц:

Метод простой итерации

Расчетная формула метода

Заметим, что были сделаны следующие преобразования исходной системы:

.

Теперь преобразуем систему к каноническому виду (7.9):

.

Окончательно, получили:

(8.8)

Таким образом, для метода простой итерации в формуле (8.8) параметр .

Метод Зейделя и релаксации можно записать в каноническом виде:

(8.9)

- параметр.

Справедливы следующие утверждения (без доказательств).

Утверждение 1. Для симметричных положительно определенных матриц метод релаксации сходится при значениях параметра из интервала (0,2)

Утверждение 2. Для симметричных положительно определенных матриц метод Зейделя сходится при любом начальном приближении.

Утверждение 3. Метод Якоби (простой итерации) сходится, если итерационная матрица обладает свойством диагонального преобладания элементов.

ПРИМЕР. Рассмотрим матрицу следующего вида:

Собственные числа матрицы:

Решаем задачу методом простой итерации с параметром:

,

Расчетная форма метода:

Максимальное собственное число матрицы B равно 0.972. Для вычисления решения с точностью 0.001

метод сойдется за 247 итераций.

Применяя метод Зейделя, можно получить решение с той же точностью за 66 итераций.

Применяя метод релаксации, можно получить решение за 32 итерации, подобрав значение параметра

=1.2