ЛЕКЦИЯ 7. Итерационные методы решения СЛАУ.
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §6.1. §6.2, §6.3
§7.1 Методы простой итерации и Зейделя. Геометрическая интерпретация методов.
Постановка задачи о нахождении приближенного решения СЛАУ.
Найти
такой вектор
,
который удовлетворяет неравенству:
.
Метод простой итерации.
Приведем систему к виду, удобному для итераций.
Для этого систему Ax=b приведем к эквивалентному виду x=Bx+c.
(7.1)
Будем
предполагать, что все диагональные
элементы ненулевые. Выразим из 1-го
уравнения
,
из второго
,…из
последнего
.
Введем матрицу B и вектор c :
,
,
,
i,j=1,…m
Теперь система (7.1) приведена к виду: x=Bx+c. Это преобразование называется преобразованием Якоби. Будем проводить итерации по формуле:
(7.2)
Формула (7.2)называется расчетной формулой метода простой итерации.
Выберем
начальное
приближение
.
Подставим его в правую часть системы
(7.2):
.
Получим вектор
,
называемый первым приближением к корню.
затем получим вектор
и т.д. Запишем метод в покоординатной
форме:
(7.3)
Возникает вопрос о критерии окончания и условиях сходимости метода.
Теорема 6.3. Пусть выполнено условие:
(7.4)
Тогда
при произвольном начальном приближении
метод
простой итерации сходится и справедливы
оценки:
(7.5)
(7.6)
Следствие. (Критерий окончания итераций). Из неравенства (7.6) вытекает критерий окончания итераций.
(7.7)
Замечание
1. Из оценки
(7.5) следует, что метод простой итерации
сходится со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Чем меньше норма матрицы В, тем быстрее
сходится метод.
Замечание 2.
Если
,
то можно использовать более простой
критерий окончания итераций:
Метод Зейделя.
Метод Зейделя
можно рассматривать как модификацию
метода Якоби. Основная идея состоит в
том, чтобы при вычислении очередного
n+1
приближения к неизвестному
при
i>1
используют уже найденные (n+1)
приближения к неизвестным
,
,
…
.
Выясним условия применимости метода и критерий окончания.
Представим матрицу B в виде суммы двух матриц:
,где:
,
Тогда расчетные формулы метода Зейделя можно записать в таком виде:
Теорема.6.4 (Достаточное условие сходимости). Пусть выполнено условие:
(7.8)
Тогда при произвольном начальном приближении метод Зейделя сходится и справедливы оценки:
(7.9),
где
(7.10)
(7.11)
§7.2 Метод релаксации.
Метод релаксации является еще одной модификацией теперь уже метода Зейделя. Суть его состоит в том, что после вычисления i-ой компоненты (n+1) приближения по формуле Зейделя производят смещение этой компоненты на малую величину в направлении корня.
Вот как вычисляется i-ая компонента методов.
Метод Зейделя:
Метод релаксации
Делают шаг по методу Зейделя:
А затем смещают компоненту на величину:
,
где
-
параметром релаксации.
Таким образом, новая компонента считается по формуле:
Метод релаксации можно записать в матричной форме записи:
(7.12)
При
метод релаксации совпадает с методом
Зейделя. При
его
называли методом верхней релаксации,
при
- методом нижней релаксации. Сейчас
метод принято называть SOR-
методом.
(successive over relaxation).
Применяется метод в основном для симметричных положительно определенных матриц.
Теорема
7.1
.(без
доказательства). Пусть матрица A-
симметрична и положительно определена.
Тогда метод релаксации сходится при
.
Геометрическая интерпретация метода релаксации.
§ 7.3. Вторая постановка задачи о нахождении приближенного решения.
Дана СЛАУ
Ax=b.
Требуется
найти такой вектор
,
который удовлетворяет
неравенству:
.
(7.13)
Будем называть это первой постановкой задачи о нахождении приближенного решения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Вектором невязки на n-ой
итерации называется вектор
равный
Пусть
- начальное приближение к корню
,
тогда
- первоначальная невязка.
2-ая постановка задачи о нахождении приближенного решения СЛАУ. Найти такой
вектор
,
что норма невязки
будет меньше нормы невязки нулевого
приближения
в заданное количество раз. То
есть должно быть справедливо соотношение:
,
где K-
заданное целое число.
Пример.
.
Решением системы является вектор
Приведем систему к виду, удобному для итераций:
Применяя метод простой итерации,
получим расчетные формулы:
Заметим, что итерационная матрица B имеет вид:
,
- условие сходимости выполнено. Вектор
- примем
его в качестве начального приближения . Выполним 3 итерации метода.
,
,
Вычислим первоначальную невязку:
Если взять теперь отношение бесконечной нормы вектора невязки на нулевой итерации к бесконечной норме невязки на третьей итерации, то получим отношение:
Первоначальная
невязка уменьшилась в 13 раз. Если сравнить
вектор
c вектором точного решения,
то получим:
Необходимость введения такого критерия связана с тем, что сформулированное в предыдущей лекции условие сходимости является достаточным и часто не выполняется
для сходящихся методов. Также не работает критерий окончания итераций.