§1.3 Погрешность функции.

Вычисление погрешности функции одной переменной.

Пусть вычисляется функция в некоторой точке ,

заданной приближенно, и для которой известно значение абсолютной погрешности . Чему равна погрешность вычисления функции ?

Теорема 1.1. Пусть функция является непрерывно дифференцируемой

в окрестности точки . Тогда справедлива формула:

, (1.6)

где - абсолютная погрешность аргумента.

Доказательство: Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:

Далее:

Откуда и вытекает формула (1.6).

Для нахождения относительной погрешности справедлива оценка:

(1.7)

где - относительная погрешность аргумента.

Замечание. Часто вместо оценки (1.6) используют приближенную оценку:

, (1.6*)

ПРИМЕР. Рассмотрим решение уравнения: . Ясно, что решением является x=0. Внесем погрешность в константу 2. И найдем решение уравнения :

Решением стала величина: x= 0.20249999999999968

Произведем теоретическую оценку: . Вычислим погрешность по формуле

(1.6*): . Тогда получим: . Реальная погрешность получилась больше. Правильная оценка выглядит так: .

Вычисление погрешности функции многих переменных.

Теорема 1.2. (без док-ва). Пусть - дифференцируемая функция m переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов , , … .Тогда если , то можно

использовать равенства: , (1.7)

(1.8)

Оценка (1.7) вытекает из формулы конечных приращений Лагранжа:

, где .

§ 1.4 Представление чисел в эвм.

Знание основных особенностей машинной арифметики необходимо для грамотного использования компьютеров при решении научно-технических задач. В ЭВМ, как известно, используются позиционные системы счисления. Основанием системы, как правило, являются степени 2. Будем проводить дальнейшие рассуждения в двоичной системе счисления.

Далее будем считать, что запись числа имеет следующий вид

,

Пример. Запишем числа 4.25 и 0.5 в двоичной системе счисления.

4.25=4+1/4= =100.01

0.125 =1/8= =0.001

Теперь сложим эти числа: 4.25+0.125=4.375. Сложим полученные двоичные представления: 100.01+0.001=100.011=4+0.25+0.125=4.375

Рассмотрим как проходит процесс сложения на ЭВМ.

1. Числа представляются в нормализованной форме:

Далее на сумматоре у чисел выравниваются порядки по максимальному порядку и по правилам двоичной арифметики складывают числа:

получаем то же самое число 4.375.

Теперь попробуем сделать округление в двоичном коде до 5 разрядов после запятой.

Получим число: . Получили число 4.5.

Для вещественных чисел принята форма представления – нормализованная с плавающей точкой:

Здесь 0 или 1. Число x нормализуется так, чтобы и поэтому в памяти ЭВМ хранятся только значащие цифры. Число называется мантиссой числа. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы и зависит от конструктивных особенностей ЭВМ. Число p

называется порядком. Порядок записывается также двоичным числом, для хранения которого отводится l+2 двоичных разряда: .В учебнике в § 2.5

представлена структура ячейки для хранения вещественного числа.

Длительное время различные компьютеры отличались друг от друга числом разрядов, отводимых для хранения мантиссы и порядка, способом округления и имели различные правила машинной арифметики. Однако в настоящее время большинство компьютеров конструируются в соответствии с правилами, разработанными в 1985 году

IEEE - стандартом двоичной арифметики.

При стандартном способе записи нормализованного числа в этом стандарте под хранение

мантиссы отводится 24 разряда (включая знак), а под хранение двоичного порядка – 8 разрядов. Поскольку для нормализованного числа , то необходимости в хранении первого значащего разряда нет, и сэкономленный разряд используется для хранения еще одного двоичного разряда мантиссы.

Поскольку , то для мантиссы нормализованного числа справедливы оценки:

. В то же время для представления порядка используется конечное число l+1 двоичных разрядов и поэтому . Таким образом, для представления на компьютере нормализованных чисел имеем:

, где , Числа и называют порогом машинного нуля и порогом переполнения.

На компьютерах, удовлетворяющих стандарту IEEE, в арифметике обычной точности

, , поэтому , .

Наименьшее положительное представимое в ЭВМ число будем называть машинным нулем,

Наибольшее положительное представимое в ЭВМ число будем называть машинной бесконечностью.

Кроме нормализованных чисел, арифметика IEEE включает в себя и денормализованные числа – это очень малые числа из диапазона . Они представляются специальным образом. Например, 0 имеет нулевую мантиссу и показатель степени , т.е. .

Как мы выяснили, в компьютере представимы не все числа, а конечный набор чисел специального вида. Эти числа образуют представимое множество компьютера. Все остальные числа представляются с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (или ошибкой округления.)

В IEE арифметике округление производится по дополнению, поэтому для нормализованных чисел граница относительной погрешности представления равна 1 первого отброшенного разряда мантиссы , то есть . Порядок числа не влияет на относительную погрешность представления. Величина играет в вычислениях фундаментальную роль; ее называют относительной точностью компьютера или машинной точностью, или машинным эпсилон. Заметим, что значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и способом округления.