§1.2 Правила записи приближенных чисел.

Пусть число задано в виде конечной десятичной дроби:

Определение. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 3. 3 значащие цифры

5 значащих цифр.

Определение. Значащая цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 4.

Пусть , тогда в числе 4 верные цифры.

Пусть , тогда в числе 3 верные цифры.

Пусть , тогда в числе 1 верная цифра.

Замечание. Верная цифра числа не обязана совпадать с соответствующей цифрой в записи точного числа. Например, если и , то и все

цифры в его записи верные.

Используют 2 формы записи приближенных чисел:

- с явным указанием погрешности

- с учетом верных цифр.

Если приближенное число приводится в качестве результата без указания величины погрешности, то принято считать, что все цифры в его записи являются верными.

Для представления приближенного числа следует использовать округление.

Существуют 2 способа округления: усечением и по дополнению.

Округление усечением. Пусть в числе требуется

оставить к разрядов после запятой:

При округлении усечением разряды с к+1 отбрасываются и получают такое число:

Абсолютная погрешность округления числа усечением до к знаков после запятой составляет .

Округление по дополнению. При округлении

по дополнению учитывают к+1 разряд: если , то к добавляют 1, в противном случае оставляют без изменения.

Абсолютная погрешность округления числа по дополнению до к знаков после запятой составляет .

При работе на ЭВМ используется нормализованная форма записи числа: , где . называется мантиссой числа, а p- порядком числа.

Пример 5.

Пусть известно, что относительная погрешность числа x равна . Это означает, что

. Следовательно, . Так как , то . А это означает, что мантисса содержит k цифр.

§1.2 Погрешность арифметических операций.

Пусть a* и b* - приближенные числа.

Утверждение 1. Абсолютная погрешность суммы и разности приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей аргументов.

Доказательство.

Утверждение 2. Для относительной погрешности произведения и деления

cправедливо неравенство (без доказательства):

Утверждение 2*. Для относительных погрешностей произведения и частного

верны оценки:

(1.4)

(1.5)

Доказательство. Докажем неравенство (1.4)

Разделив обе части неравенства на , получим оценку (1.4).

Для вывода второй оценки нужно воспользоваться неравенством:

Тогда:

Следствие. Если и , то для оценки относительных погрешностей

можно использовать следующие приближенные равенства:

и

Итак, выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило,

сопровождается потерей точности. Наибольшая потеря происходит при вычитании близких чисел одного знака и при делении на маленькое число.