Расчетное задание / КМ4 / Отчет КМ4 с ошибками Долгов Р ТФ-12-20

Fortran:

Результаты совпадают.

Подпрограмма №3: Compute determinant after factoring (Вычислить определитель после разложения на множители).

Задача: Вычислить определитель комплексной Эрмитовой матрицы с учетом разложения вида U·DUH.

Для этого используем: CALL LFDHF (N, FAC, LDFAC, IPVT, DET1, DET2)

11

Входные параметры подпрограммы:

1.N — Число уравнений.

2.FAC — Комплексная матрица размерностью NxN, содержащая разложение матрицы коэффициентов A в качестве выходных данных процедуры LFCHF/DLFCHF или LFTHF/DLFTHTHF. Используется только верхний треугольник FAC.

3.LDFAC — ведущее измерение FAC в точности так, как указано в инструкции измерения вызывающей программы.

4.IPVT — вектор длины N, содержащий сводную информацию для факторизации A в качестве выходных данных из процедуры

LFCHF/DLFCHF или LFTHF/DLFTHTHF.

Выходные параметры подпрограммы:

1.DET1 — скалярный параметр, содержащий мантиссу определителя. Значение, установленное в 1, нормализуется таким образом, что 1.0 = |DET1| < 10.0 или DET 1 = 0.0.

2.DET2 — скалярный параметр, содержащий показатель степени определителя. Определитель возвращается в виде det(A) = DET1∙10DET2.

Алгоритм.

Процедура LFDHF вычисляет определитель комплексной Эрмитовой матрицы неопределенных коэффициентов. Чтобы вычислить определитель, матрица коэффициентов должна сначала подвергнуться разложению вида U·DUH. Это можно сделать, вызвав либо LFCHF, либо LFТHF. Поскольку det U = ±1, для вычисления определителя используется формула det A = det U det D det UH = det D. Det D вычисляется как произведение определителей его блоков.

Пример решения.

Перенесем пример из библиотеки IMSL в систему программирования Fortran и сравним результаты описанные в IMSL и полученные в программе.

12

Компиляция – 0 ошибок, 0 предупреждений.

13

Линкинг – 0 ошибок, о предупреждений.

Для наглядности сравним результаты из программы и примера в IMSL.

IMSL:

14

Fortran:

Результаты совпадают.

Объединение процедур.

Листинг программы с одинарной точностью.

program odinarnaya_tochonst implicit none

! Объявление переменных

INTEGER LDA, N, I, j, k, z, v PARAMETER (LDA=3, N=3) INTEGER IPVT(N), NOUT

REAL RCOND, DET1, DET2, START, FINISH

COMPLEX A(LDA,LDA), B(N,3), X(N,3), FAC(LDA,LDA), C(N), D(N), RES(N), M1(3,12000000), M2(3,12000000), M3(12000000)

CALL CPU_TIME (START)

DATA A/(3.0,0.0), (1.0,1.0), (4.0,0.0), (1.0,-1.0), (2.0,0.0), (-5.0,-1.0), (4.0,0.0), (- 5.0,1.0), (-2.0,0.0)/

DATA B/(7.0,32.0), (-39.0,-21.0), (51.0,9.0), (-6.0,11.0), (-5.5,-22.5), (16.0,17.0), (- 2.0,-17.0), (4.0,10.0), (-2.0,12.0)/

DATA C/(7.0,32.0), (-39.0,-21.0), (51.0,9.0)/ DO j=1,12000000-2,3

DO k=0,2 M1(1,j+k)=A(1,1+k) M1(2,j+k)=A(2,1+k) M1(3,j+k)=A(3,1+k) A(1,1+k)=A(1,1+k)+(0.001/j) A(2,1+k)=A(2,1+k)+(0.001/j) A(3,1+k)=A(3,1+k)+(0.001/j)

15

M2(1,j+k)=B(1,1+k)

M2(2,j+k)=B(2,1+k)

M2(3,j+k)=B(3,1+k)

B(1,1+k)=B(1,1+k)+(0.001/j)

B(2,1+k)=B(2,1+k)+(0.001/j)

B(3,1+k)=B(3,1+k)+(0.001/j)

M3(j+k)=C(1+k)

C(1+k)=C(1+k)+(0.001/j) end do

end do

DO z=1,12000000-2,3 DO k=0,2 A(1,1+k)=M1(1,z+k) A(2,1+k)=M1(2,z+k) A(3,1+k)=M1(3,z+k) B(1,1+k)=M2(1,z+k) B(2,1+k)=M2(2,z+k) B(3,1+k)=M2(3,z+k) C(1+k)=M3(z+k) END DO

! Программа 1

CALL LFTHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT) DO 10 I=1, 3

CALL LFSHF (N, FAC, LDA, IPVT, B(1,I), X(1,I)) 10 CONTINUE

CALL WRCRN ('X', N, 3, X, N, 0) ! Программа 2

CALL UMACH (2, NOUT)

CALL LFCHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT, RCOND) WRITE (NOUT,99998) RCOND, 1.0E0/RCOND

DO 20 I=1, 3

CALL LFIHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT, C, D, RES) WRITE (NOUT,99999) I

CALL WRCRN ('D', 1, N, D, 1, 0) CALL WRCRN ('RES', 1, N, RES, 1, 0) C(2) = C(2) + (0.2E0, 0.2E0)

20 CONTINUE

99998 FORMAT (' RCOND = ',F5.3,/,' L1 Condition number = ',F6.3) 99999 FORMAT (//,' For problem ', I1)

! Программа 3

CALL LFTHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT) CALL LFDHF (N, FAC, LDA, IPVT, DET1, DET2) CALL UMACH (2, NOUT)

WRITE (NOUT,99997) DET1, DET2

99997 FORMAT (' The determinant is', F5.1, ' * 10**', F2.0)

16

END DO

CALL CPU_TIME (FINISH)

PRINT *, 'TIME = ', FINISH-START, ' SEC' end program odinarnaya_tochonst

Листинг программы с двойной точностью.

program dvoinaya_tochnost implicit none

! Объявление переменных

INTEGER LDA, N, I, j, k, z, v PARAMETER (LDA=3, N=3) INTEGER IPVT(N), NOUT

REAL(8) RCOND, DET1, DET2, START, FINISH

COMPLEX(8) A(LDA,LDA), B(N,3), X(N,3), FAC(LDA,LDA), C(N), D(N), RES(N), M1(3,12000000), M2(3,12000000), M3(12000000)

CALL CPU_TIME (START)

DATA A/(3.0,0.0), (1.0,1.0), (4.0,0.0), (1.0,-1.0), (2.0,0.0), (-5.0,-1.0), (4.0,0.0), (- 5.0,1.0), (-2.0,0.0)/

DATA B/(7.0,32.0), (-39.0,-21.0), (51.0,9.0), (-6.0,11.0), (-5.5,-22.5), (16.0,17.0), (- 2.0,-17.0), (4.0,10.0), (-2.0,12.0)/

DATA C/(7.0,32.0), (-39.0,-21.0), (51.0,9.0)/ DO j=1,12000000-2,3

DO k=0,2 M1(1,j+k)=A(1,1+k) M1(2,j+k)=A(2,1+k) M1(3,j+k)=A(3,1+k) A(1,1+k)=A(1,1+k)+(0.001/j) A(2,1+k)=A(2,1+k)+(0.001/j) A(3,1+k)=A(3,1+k)+(0.001/j) M2(1,j+k)=B(1,1+k) M2(2,j+k)=B(2,1+k) M2(3,j+k)=B(3,1+k) B(1,1+k)=B(1,1+k)+(0.001/j) B(2,1+k)=B(2,1+k)+(0.001/j) B(3,1+k)=B(3,1+k)+(0.001/j) M3(j+k)=C(1+k) C(1+k)=C(1+k)+(0.001/j) END DO

END DO

DO z=1,12000000-2,3 DO k=0,2 A(1,1+k)=M1(1,z+k) A(2,1+k)=M1(2,z+k) A(3,1+k)=M1(3,z+k)

17

B(1,1+k)=M2(1,z+k)

B(2,1+k)=M2(2,z+k)

B(3,1+k)=M2(3,z+k)

C(1+k)=M3(z+k) END DO

! Программа 1

CALL DLFTHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT) DO 10 I=1, 3

CALL DLFSHF (N, FAC, LDA, IPVT, B(1,I), X(1,I)) 10 CONTINUE

CALL WRCRN ('X', N, 3, X, N, 0) ! Программа 2

CALL UMACH (2, NOUT)

CALL DLFCHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT, RCOND) WRITE (NOUT,99998) RCOND, 1.0E0/RCOND

DO 20 I=1, 3

CALL DLFIHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT, C, D, RES) WRITE (NOUT,99999) I

CALL WRCRN ('D', 1, N, D, 1, 0) CALL WRCRN ('RES', 1, N, RES, 1, 0) C(2) = C(2) + (0.2E0, 0.2E0)

20 CONTINUE

99998 FORMAT (' RCOND = ',F5.3,/,' L1 Condition number = ',F6.3) 99999 FORMAT (//,' For problem ', I1)

! Программа 3

CALL DLFTHF (N, A, LDA, FAC, LDA, IPVT) CALL DLFDHF (N, FAC, LDA, IPVT, DET1, DET2) CALL UMACH (2, NOUT)

WRITE (NOUT,99997) DET1, DET2

99997 FORMAT (' The determinant is', F5.1, ' * 10**', F2.0) END DO

CALL CPU_TIME (FINISH)

PRINT *, 'TIME = ', FINISH-START, ' SEC' end program dvoinaya_tochnost

Расчет памяти.

В программе используется матрица А размерностью 3х3, матрица В размерностью 3х3, а также вектор-столбец С 3х1. В постановке задачи исследования производительности ПК необходимо выполнение программы минимум 40 секунд времени, с учётом ограничения на используемую RAMпамять компьютера (минимум 300-400 Мб), поэтому для увеличения используемой процессом памяти было необходимо создать буферную матрицу.

18

При 300 Мб выполняется минимум по времени. Посчитаем необходимое количество элементов:

(300 ∙ 1024 ∙ 1024) / (4 ∙ 3 ∙ 2 + 1) = 11234736 элементов.

Примем значение 12000000. Тогда объем памяти для одинарной точности будет составлять 320,43 Мб. Соответсвтенно для двойной точности объем памяти составит 640,86 Мб.

4 Байта предоставляется 1 элементу вещественного типа REAL. Так как будет использоваться 2 буферные матрицы – делим на 2. Таким образом, 2 буферные матрицы будет иметь размерность (3, 12000000), а буферный вектор столбец (12000000).

Основные параметры тестируемой системы.

∙CPU – Intel(R) Core(TM) i7-12800 1.80 GHz 3.70 GHz; 14 ядер, 20 потоков

∙RAM – 16.00 Гб Kingston 9905600-119.A00G DDR4 SO-DIMM 8 Gb, Kingston 9905600-119.A00G DDR4 SO-DIMM 8 Gb

∙SSD – NVMe Kingston RBUSNS8 1 Тб

∙Windows 11 Домашняя для одного языка, 64-разрядная

Результаты измерений.

Таблица 1 – результаты 90 расчетов в режиме debug с одинарной точностью

19

Таблица 2 – результаты 90 расчетов в режиме realise с одинарной точностью

Таблица 3 – результаты 90 расчетов в режиме realise с двойной точностью

Обработка результатов измерений.

Выполним сортировку результатов с помощью внутренней функции

Mathcad Sort(V):

Таблица 4 – отсортированные данные

20