+ fi(i, k)biλj + fi(j, k), i ̸= j, i ̸= k,
|
∂2Mi(+1N)(z) |
= λiλj(si(2)+1+β(2))+(si+1+β)λifi(j)+fi(i, j)biλi+ |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
∂zj∂zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ fi(i)λiλj[2bi(si+1 + β) + bi(2)] + λiλjbi2fi(i, i), i ̸= j, |
|
|||||||||
|
|
∂2Mi(+1N)(z) |
2 |
|
(2) |
|
(2) |
2 |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
= λ |
(s |
i+1 |
+ β |
|
) + fi(i)λ |
[2bi(si+1 + β) + b |
i |
]+ |
|
|
∂zj∂zk |
i |
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ λ2i b2i fi(i, i), i, j, k = 1, N. (12)
Соотношения (11)–(12) определяют систему линейных уравнений для вычисления моментов второго порядка fi(j, k), i, j, k = 1, N, которые позволяют вычислить среднее время ожидания Wi в очереди Qi.
Утверждение 4.3. Cреднее время ожидания Wi в очереди
Qi вычисляется с помощью формулы |
|
||||
|
fi(i, i) − fi |
|
|
|
(13) |
Wi = |
(1 + ρi), i = 1, N. |
||||
|
2λifi |
|
|||
Доказательство. проводится аналогично [33].
4.3.Случай исчерпывающей дисциплины обслуживания
Рассмотрим теперь случай исчерпывающего обслуживания, напомним, что при это дисциплине очередь получает обслуживание до тех пор, пока она не опустеет. Ключевой случайной величиной, описывающей длительность обслуживания очереди при исчерпывающей дисциплине, является длительность периода занятости сервера у очереди, а именно, времени от момента начала обслуживания очереди до момента, пока очередь не станет пуста.
Введем следующие обозначения:
•Xij – число заявок в очереди Qj в момент опроса очереди
Qi, i, j = 1, N,
57
•Ai(T ) – число заявок, которые поступили в очередь Qi за время T ,
•Θi,k — длительность периода занятости сервера в очереди Qi, порожденного k-й заявкой,
•H – длительность отдыха сервера.
Преполагаем, что величины Θi,k независимы и одинаково распределены. Обозначим через θei(w) ПЛС функции распределения случайных величин Θi,k. Поскольку очередь Qi после момента ее опроса сервером ведет себя как система массового обслуживания типа M/G/1 с отдыхами сервера, то ПЛС, обозначим его через θei(w), периода занятости этой очереди находится как решение функционального уравнения
θi(w) = Bi(w + λi − λiθi(w)), |
(14) |
||
хорошо известногоeв |
теории массового обслуживания. Вывод это- |
||
e |
e |
|
|
го функционального уравнения можно найти, например, в [57]. Средняя длительность периода занятости сервера в очереди
′
Qi определяется как θi = −θe (0), что с помощью соотношения (14) принимает вид θi = 1−biρi .
Тогда для исчерпывающей дисциплины обслуживания получаем, что величины Xij, i, j = 1, N связаны между собой следующим образом:
Xij+1 |
|
Mi(0)+1 |
= |
i |
|
j |
k=1 |
|
i,k |
|
|
i+1 |
̸ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Xj + A |
|
|
Xii |
Θ |
|
|
+ S |
|
, i = j, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Aj (Si+1) ,Pi = j, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
Xi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Xij+1 |
|
Mi(1)+1 |
|
+ A |
|
|
|
i−1 |
Θ |
|
|
+ S |
|
, i |
− |
1 = j, |
|||||
|
= |
|
i−1 |
|
|
j |
Pk=1 |
|
|
|
i−1,k |
|
i+1 |
|
̸ |
||||||
|
|
|
Aj (Si+1) , i |
− |
1 = j, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Xij+1 |
|
Mi(2)+1 |
|
+ A |
|
|
Xii−−22 |
Θ |
|
|
+ S |
|
, i |
− |
2 = j, |
||||||
|
= |
|
i−2 |
|
|
j |
Pk=1 |
|
|
|
i−2,k |
|
i+1 |
|
̸ |
||||||
|
|
|
Aj (Si+1) , i |
− |
2 = j, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
58
...
Xij+1 |
|
Mi(+1N−1) = |
|
|
i |
N+1 |
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||
|
|
|
j |
N+1 + Aj |
|
|
Xi−−N+1 |
Θi |
|
N+1,k + Si+1 |
|
, i |
|
N + 1 = j, |
||
= |
Xi |
− |
P |
k=1 |
|
− |
|
− |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|||||||
|
Aj (Si+1) , i |
− |
N + 1 = j, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xij+1 Mi(+1N) =
= Xij−N + Aj
Xi−N
P i−N Θi−N,k + Si+1 + H k=1
,
(17)
i − N ̸= j,
Aj (Si+1 + H) , i − N = j,
при всех n = 0, N.
Вероятности событий Mi(+1j) , j = 0, N вычисляются по формулам (9), как и в случае шлюзового обслуживания.
Аналогично (6), с помощью равенств (15) приходим к следующему результату.
Утверждение 4.4. Производящие функции Fi(z), i = 1, N стационарных вероятностей длин очередей в моменты опроса определяются равенствами:
где
M(i+1l)
Fi(z) = uiMi(0)+1(z) + (1 − ui)ui−1Mi(1)+1(z) + ...+ |
(18) |
+ (1 − u1) · · · (1 − uN−1)uN M(i+1N−1)(z)+ = (1 − u1) · · · (1 − uN )M(i+1N)(z),
(z) =
= Fi−l |
z1, z2 |
, ..., zi−l, θi−l |
N |
λj(1 − zj) |
, zi−l+2, ..., zN |
|
× |
|||
|
|
e |
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
× Si−l+1 |
N |
λj(1 − zj) , l = |
|
, |
|
|
|
|||
0, N − 1 |
|
|
|
|||||||
e |
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Mi(+1N)(z) = |
|
N |
λj(1 − zj) |
|
|
× |
|
= Fi−N z1, z2 |
, ..., zi−N , θi−N |
, zi−N+2, ..., zN |
|||||
|
e |
Xj |
|
|
|
|
|
N |
|
=1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
X |
|
X |
|
|
|
|
|
× Sei−N+1 j=1 λj(1 − zj) H˜ j=1 λj(1 − zj) . |
|
(19) |
|||||
Доказательство. Доазательство |
Утверждения |
проводится |
|||||
аналогично доказательству Утверждения 2.1. |
|
|
|
||||
Дифференцируя равенства (18) с учетом (19), получаем следующую систему линейных уравнений, позволяющую вычислить среднее число заявок в Qj в момент опроса Qi:
fi+1(j) = ui |
I{i=j}fi(j) + I{i=j}λj |
bi |
|
fi(i) + λjsi+1 |
+ |
|||||
1 |
ρi |
|||||||||
+ (1 − ui)ui−1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
I{i−1=j}fi−1(j) + I{i−1=j}λj 1 − ρi−1 fi−1(i − 1)+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
bi−1 |
|
||
|
|
|
|
|
+ λjsi+1 + · · · + (20) |
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
bi−N |
|
||
+ k=1(1−uk) I{i−N=j}fi−N (j) + I{i−N=j}λj |
|
(i − N)+ |
||||||||
|
|
|
fi−N |
|||||||
1 |
− |
ρi−N |
||||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+λj(si+1 + β) .
Дифференцируя (18) дважды, получаем систему линейных уравнений для вычисления моментов второго порядка величин
Xij, i, j = 1, N
∂2Mi(0)+1(z) |
|
∂2Mi(1)+1(z) |
|
||||
fi+1(j, k) = "ui |
|
|
+ (1 − ui)ui−1 |
|
|
+ ...+ |
|
∂zj∂zk |
∂zj∂zk |
|
|||||
|
+ (1 − u1) · · · (1 − uN ) |
∂2Mi(+1N)(z) |
# |
, (21) |
|||
|
∂zj∂zk |
||||||
|
|
|
|
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
где частные производные второго порядка |
|
∂2Mi(+1l) (z) |
, l = |
|
, |
||||||||||||||||||||
|
0, N |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
вычисляются следующим образом: |
|
|
|
|
∂zj∂zk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂2Mi(0)+1(z) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi |
λk |
|
|
||
|
|
= λj |
λks |
+ si+1λkfi(j) + si+1λjfi(k) + fi(i, j) |
|
|
+ |
||||||||||||||||||
|
∂zj∂zk |
|
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − ρi |
|
|
|||
|
+ fi(i)λjλk |
" 1 i iρi |
+ (1 i ρi)3 # |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
+ fi(i, k)1 ρi + |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2b s +1 |
|
|
|
|
b(2) |
|
|
|
|
biλj |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ fi(i, i)λjλk |
− |
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
bi |
+ fi(j, k), i ̸= j, i ̸= k, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 ρi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂2Mi(0)+1(z) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
si+1bi |
̸= j, |
|
|
|
||||||
|
|
= λiλjsi+1 |
+ si+1λifi(j) + fi(i)λi |
λj |
|
, i |
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂zj∂zk |
1 − ρi |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∂2Mi(0)+1(z) |
= λ2s(2) , i, j, k = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1, N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂zj∂zk |
i |
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂2Mi(+1N)(z) |
= λjλk(si(2)+1 + β(2)) + (si+1 + β)λkfi(j) + (si+1 + β)λjfi(k)+ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∂zj∂zk |
|
λk " |
|
1 ρi |
|
|
|
+ (1 i ρi)3 # + fi(i, j) |
1 ρi + |
||||||||||||||||
|
|
|
+ fi(i)λj |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2bi(si+1 + β) |
b(2) |
biλk |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|||
|
+fi(i, i)λjλk 1 |
b |
i ρi |
2 |
|
|
(i, k)1 i ρi |
+ fi(j, k), i ̸= j, i ̸= k, |
||||||||||||||||||
|
|
+ fi |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b λj |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂2Mi(+1N)(z) |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= λiλj |
(s |
|
|
+ β |
|
|
) + (si+1 + β)λifi(j)+ |
|
|
|||||||||||
|
|
∂zj∂zk |
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ fi(i)λiλj |
|
(si+1 + β)bi |
, i ̸= j, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂2Mi(+1N)(z) |
|
|
|
|
1 − ρi |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
= λi2(si(2)+1 + β(2)), i, j, k = |
|
. |
(22) |
|||||||||||||||||||||
|
|
1, N |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∂zj∂zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Данные соотношения определяют систему линейных уравнений для вычисления моментов второго порядка fi(j, k), i, j, k =
61