Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги2 / монография 68.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2024

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

ная схема сходится к тому же самому результату. Заметим здесь также, что в данном случае загрузка системы ρ = 0, 48, а все вероятности того, что очереди будут обслужены в цикле примерно одинаковы и близки к 0,5. Однако с ростом загрузки за счет увеличения среднего времени обслуживания в очередях вероятности ui, i = 1, N становятся неоднородными, например, u1 = 0, 7118,

u2 = 0, 8186, u3 = 0, 5600, u4 = 0, 5075 и u5 = 0, 6324, то есть чем большую загрузку имеет очередь относительно остальных очере-

дей, тем выше вероятность ее опроса в цикле. Для относительно слабо загруженных очередей вероятность их опроса в цикле остается примерно равной 0,5. Однако с уменьшением среднего времени переключения эта неоднородность исчезает, а вероятности ui, i = 1, 5 становятся близки к единице.

Следует заметить, что для рассмотренных случаев, в том числе при варьировании загрузки системы в целом, итерационная схема (5) дает устойчивую сходимость к единственному набору значений искомых величин.

4.2.Система адаптивного динамического опроса со шлюзовой дисциплиной

Далее модифицируем метод производящих функций, традиционно применяемый для анализа систем поллинга [5], для случая адаптивного динамического опроса.

Обозначим через Xij среднее число заявок, находящихся в очереди Qj в момент, когда сервер опрашивает очередь Qi, i, j = 1, N. Пусть также Ai(T ) есть число заявок из входящего в очередь Qi потока, поступивших в течение случайного времени длительности T , Bik – время обслуживания заявки номер k в очереди Qi, Si – время подключения сервера к очереди Qi, i = 1, N, а H

– это длительность отдыха сервера.

Пусть pi(k1, k2, . . . , kN ) – стационарная вероятность того, что в момент опроса очереди Qi в очереди Qj находится kj заявок,

j = 1, N.

Введем производящие функции вероятностей числа заявок в очередях системы в моменты опроса очереди Qi:

Fi(z) = Fi(z1, z2, ..., zi, ..., zN ) =

∞ ∞		∞
X X		X		, ..., kN )zk1 zk2	...zkN ,
=	...	pi(k1	, k2	, ..., kN )zk1 zk2	...zkN ,
				1 2	N
k1=0 k2=0		kN =0

или в терминах математического ожидания:

Fi(z) = M	zjXij	, i = 1, N.
	N
	jY

	=1

Утверждение 4.2. Производящие функции Fi(z), i = 1, N удовлетворяют следующим функциональным соотношениям:

Fi(z) = uiMi(0)+1(z) + (1 − ui)ui−1Mi(1)+1(z) + ...

(6)

+ (1 − u1) · · · (1 − uN−1)uN Mi(+1N−1)(z)+

+ (1 − u1) · · · (1 − uN )Mi(+1N)(z),

где ui−N = ui, Fi−N (z) = Fi(z),

Mi(+1l) (z) =

λj(1 − zj)

= Fi−l z1, z2

, ..., zi−l, Bi−l

, zi−l+2, ..., zN

× Si−l+1 N

λj(1 − zj) ,

l = 0, N − 1,

(7)

Mi(+1N)(z) =

, ..., zi−N , Bi−N N

λj(1 − zj)

= Fi−N

z1, z2

, zi−N+2, ..., zN

× Si−N+1

λj(1 − zj) H

j=1

λj(1 − zj) .

Доказательство. При шлюзовом обслуживании изменение состояний системы в указанные моменты времени происходит согласно следующим соотношениям:

+ Aj

Xii

Bi,k + Si+1

i = j,

Xij+1

Mi(0)+1

Xii

k=1

i+1

k=1Pi,k

+ S , i = j,

Xij+1 Mi(1)+1 =

Xi−1		+ Aj	Pk=1	Bi−1,k + Si+1	, i − 1 ̸= j,
	j		Xi−1
			i−1

	Aj	Xii−−11
	Aj	Pk=1 Bi−1,k + Si+1 , i − 1 = j,

Xi−2

= Xi−2 + Aij

i−2

Bi−2,k + Si+1 , i − 2

̸= j,

M(2)

k=1

i+1

Xi−2

−

2,k

+ S

i+1

, i 2 = j,

j k=1

−

(8)

· · ·

Mi(+1N−1) =

Xij+1

Pk=1

Bi−N+1,k + Si+1 , i − N + 1 ̸= j,

Xi−N+1 + Aj

Xi−N+1

	i−N+1

=			Xi−N+1
			i−N+1
	Aj Pk=1

		Mi(+1N) =
Xij+1		Mi(+1N) =
			j
	X		i−N + Aj

Bi−N+1,k + Si+1 , i − N + 1 = j,

Pk=1 Bi−N,k + Si+1 + H	, i − N ̸= j,
Xii−−NN

=	Aj	Pk=1 Bi−N,k + Si+1 + H	, i − N = j,
		Xii−−NN

при условии событий Mi(+1j) , состоящие в том, что сервер пропускает ровно j очередей перед опросом очереди Qi+1, т.е. предыдущая очередь, которую опрашивал сервер, была Qi−j, если i > j,

и Qi−j+N , если i ≤ j, j = 0, N. При i − k < 0 предполагаем, что

Xij−k = Xij−k+N .

При фиксированном i, вероятности событий Mi(+1j) , j = 0, N вычисляются следующим образом:

P	Mi(0)+1	= ui, P Mi(1)+1	= (1 − ui)ui−1, ...,
P Mi(+1i−1)		= (1 − ui)(1 − ui−1) · · · (1 − u2)u1,
P		i
P	Mi(+1i) = k=1(1 − uk)uN ,
	Mi(+1i+1)	Y
P		i
P		= k=1(1 − uk)(1 − uN )uN−1, ...
		Y
P		i
P	Mi(+1N) = k=1(1 − uk)(1 − uN ) · · · (1 − ui−1) =
		Y

(9)

(1 − uk).

k=1

Нетрудно убедиться, что события Mi(+1j) , j = 0, N составляют пол-

ную группу, т.е.

jN=0 P Mi(+1j)

= 1 для каждого i =

1, N

соотношения (8) получаем

С помощью P

Mi(0)+1

+(1

Mi(1)+1

+...+

Fi(z) = uiM

zjXij+1

ui)ui−1M

zjXij+1

−

j=1

+ (1

u1)

uN )M

Xi+1

(N)

−

· · ·

−

j=1

Mi+1

откуда приходим к соотношению (6).

= M

Вводя обозначения

(l)

Xij+1

(l)

Mi+1(z)

j=1 zj

Mi+1 ,

l = 0, N,

(l)

функ-

с помощью формул (9) и (6) получаем, что

ции Mi+1(z), l =

0, N

удовлетворяют соотношениям (7), что

завершает доказательство Утверждения.

Среднее число заявок fi(j) = M[Xij] в очереди Qj в момент

опроса очереди Qi определяется как

∂F (z)

z=1

fi(j) = M hXiji =

∂zi j

где 1 = (1, 1, ..., 1).

Продифферецируем функцию Fi(z) по zj в точке z = 1 для

i =

0, N − 1

Для упрощения записи обозначим также через

ν(z) =

λj(1 − zj).

Вычислим вначале частную производную

∂Mi(+1l) (z)

∂zj

z=1

∂

z1, . . . , zi

−

1, B˜i

−

l(ν), zi

−

l+1, . . . , zN

S˜i

−

l+1(0)+

∂zj

−

z=1

+ Fi−l	z1, . . . , zi−l−1, B˜i−l(ν), zi−l+1, . . . , zN	dzj jS˜i−l+1(ν) z=1.

Далее, вычисляя производную сложной функции, имеем:

∂M(+1l) (z)

z=1

∂

z1, . . . , zi−l−1, B˜i−l

(ν), zi−l+1, . . . , zN

∂zi j

= ∂zj Fi−l

∂zj #

+ ∂B˜i−l

z1, . . . , zi−l−1, Bi−l(ν), zi−l+1, . . . , zN

dν

∂Fi l

dBi−l(ν) ∂ν

z=1

−

S˜i

−

l+1(0)+

+ Fi−l+1 z1, . . . , zi−l−1, B˜i−l(ν), zi−l+1, . . . , zN

∂zj z=.1

i−dνl

+1(ν) ∂ν

Здесь Fi(1) = 1, ν(1) = 0 и B˜i(0) = S˜i(0) = 1.

Также имеем:
	˜	v=0 = − Z0∞ te−νtdBi(t) = −bi,
	dνi	v=0 = − Z0∞ te−νtdBi(t) = −bi,
	dB (ν)

	∂ν(z)
	∂ν(z)				λi, i = 1, N.
	∂zi		=	−	λi, i = 1, N.
	∂zi	z=1		−

Таким образом, получаем

∂M(+1l) (z)
i					= fi(j) + λjbifi(i) + λjsi+1, j ̸= i,
∂z		j			= fi(j) + λjbifi(i) + λjsi+1, j ̸= i,
				z=1
∂M	(l)		(z)
∂M	i+1		(z)
	i+1
					= λibifi(i) + λisi+1.
∂zi					= λibifi(i) + λisi+1.
				z=1

Аналогично могут быть получены соотношения для случая

l = N.

Далее, дифференцируя равенства (6) с учетом (7), получаем следующую систему линейных уравнений для fi(j), i, j = 1, N:

+ (1	ui)ui		1	I i 1=j	fi	1	(j) + λjbi 1fi 1(i	1) + λjsi+1	+ ...+
fi+1(j) = ui				I{i=j}fi(j) + λjbifi(i) + λjsi+1 +
−		−		{ − } −			− − −

+(1 − u1) · · · (1 − uN ) I{i−N=j}fi−N (j) + λjbi−N fi−N (i − N)+

+λj(si+1 + β) , i, j = 1, N. (10)

где I{A} – это функция-индикатор выражения A. I{A} = 1, если A верно, и I{A} = 0 в противном случае. Напомним также, что индекс i меняется циклически, то есть в случае i = 0 имеем номер очереди N, а под i = N + 1 подразумевается первая очередь.

Система линейных уравнений (10) решается методом простых итераций с помощью итерационной схемы, аналогичной (5), для N2 неизвестных fi(j), i, j = 1, N.

Для того, чтобы получить средние времена ожидания, необходимо знать вторые моменты случайных величин Xij, i, j = 1, N. Моменты второго порядка вычисляются как частные производ-

ные следующим образом:

fi(j, k) = M hXijXiki =

∂2F (z)

z=1 ,

∂zj∂zi k

∂

Fi(z)

fi(i, i) = M Xi

(Xi − 1) =

∂zj2

z=1

Дифференцируя (6), получаем

∂2Mi(0)+1(z)

∂2Mi(1)+1(z)

fi+1(j, k) = "ui

+ (1 − ui)ui−1

+ ...+

∂zj∂zk

∂2Mi(+1N)(z)

+ (1 − u1) · · · (1 − uN )

i, j, k = 1, N. (11)

∂zj∂zk

z=1

где ∂2M(i+1l) (z)

∂zj∂zk

∂2M(0)i+1(z)

∂zj∂zk

,l = 0, N, вычисляются следующим образом:

=λjλks(2)i+1 + si+1λkfi(j) + si+1λjfi(k)+

+fi(i)λjλk[2bisi+1 + b(2)i ] + fi(i, i)λjλkb2i + fi(i, j)biλk+

+fi(i, k)biλj + fi(j, k), i ̸= j, i ̸= k,

∂2Mi(0)+1(z)	(2)			(2)
	= λiλjs	+si+1λifi(j)+fi(i)λiλj[2bisi+1+b		i	]+fi(i, j)biλi+
∂zj∂zk	i+1			i
∂zj∂zk
	+ λiλjbi2fi(i, i),		i ̸= j,

∂2M(0)i+1(z) = λ2s(2) +fi(i)λ2[2bisi+1+b(2)]+λ2b2fi(i, i), i, j, k = 1, N,

∂zj∂zk i i+1 i i i i

...

∂2M(N)(z) (2)

i+1 = λjλk(si+1+β(2))+(si+1+β)λkfi(j)+(si+1+β)λjfi(k)+

∂zj∂zk

+ fi(i)λjλk[2bi(si+1 + β) + b(2)i ] + fi(i, i)λjλkb2i + fi(i, j)biλk+

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги2

#
10.05.20242.28 Mб2монография 63.pdf
#
10.05.20242.19 Mб2монография 64.pdf
#
10.05.20242.16 Mб0монография 65.pdf
#
10.05.20242.04 Mб0монография 66.pdf
#
10.05.20242.01 Mб0монография 67.pdf
#
10.05.20241.94 Mб10монография 68.pdf
#
10.05.20241.85 Mб11монография 69.pdf
#
10.05.20246.38 Mб2монография 7.pdf
#
10.05.20241.84 Mб3монография 70.pdf
#
10.05.20241.79 Mб0монография 71.pdf
#
10.05.20241.64 Mб2монография 72.pdf