книги2 / монография 54

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

ускорение свободного падения, в предположении его постоянства по величине и направлению. Система уравнений, описывающая такое движение центра масс АБЛА, может быть представлена в следующем виде:

продольная и вертикальная координаты центра масс АБЛА.

где X0 – сила аэродинамического сопротивления при нулевом угле атаки

нулевой высоте; – эмпирический коэффициент аппроксимации зависимости плотности воздуха от высоты для стандартной атмосферы ( = −0,0001) [17].

Аппроксимация зависимости скорости звука от высоты для стандартной атмосферы имеет вид [17]:

а(y) = 340 – 0,004у.

Далее будем применять сокращенную запись выражения (1.2):

где B(M ) = 21 CX 0(M )S 0 . m

Система дифференциальных уравнений баллистического полета АБЛА (1.1), решаемая методами численного интегрирования, представляет собой

численную прогнозирующую моделью (ЧПМ). Необходимо провести анализ

31

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

приближенных аналитических решений системы уравнений (1.1) и оценить методические погрешности данных решений. При анализе методических погрешностей АПМ будем использовать ЧПМ в качестве эталонной прогнозирующей модели. Для оценки указанных методических погрешностей определим множество баллистических траекторий в следующих диапазонах начальных значений параметров движения АБЛА:

1)продольной координаты, м : x0 = 0;

Для указанных диапазонов начальных условий баллистические дальности полета АБЛА при отсутствии возмущений соответствуют интервалу,

Для уменьшения громоздкости математических выражений в процессе изложении материала принимаются допущения, которые не оказывают влияния на сущность излагаемых научно-методических основ построения алгоритмов терминального управления АБЛА. В качестве такого допущения в составе исходных данных исследования принято условие нахождения целевой

1.2.Общая структура функционала управления дальностью

полета

В качестве функционала управления дальностью полета АБЛА может быть принят баллистический промах по дальности L или по вертикальной

где L – текущее значение баллистической дальности полета от начальной

где «р» – индекс переменных на прогнозируемом участке траектории.

32

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

Формула (1.6) преобразуется в формулу для баллистического промаха по высоте при замене производных вертикальной координаты в общем виде соответствующими производными в силу системы уравнений (1.1):

модели баллистического полета (1.1). Оценка баллистического промаха имеет вид:

формуле (4) выражается через квадратичную функцию, и промах прогнозируется в соответствии с параболической теорией баллистического полета [18].

выражения (1.7) определяются в результате интегрирования системы (1.1), то производные функционалов L и h в силу системы уравнений (1.1) вдоль баллистической траектории тождественно равны нулю. Поэтому оценка точности упрощенных аналитических решений системы (1.1) вдоль всей баллистической траектории получается по результатам сравнения с фиксированным значением баллистического промаха.

1.3. Терминальная экстраполяция баллистического промаха АБЛА

Участок траектории, начало которого соответствует ее текущей точке, а

рассчитывается способом, известным из внешней баллистики [18]. Вычисление базируется на разложении в степенной ряд в окрестности текущей точки траектории функции yP = f (xP ) , определяющей зависимость вертикальной

координаты центра масс АБЛА от продольной координаты на прогнозируемом участке траектории:

33

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

Производная четвертого порядка определена для некоторого не зависящего от числа Маха среднего значения B(M ) , равного .

Производная произвольного порядка n может быть представлена аналитической функцией фазовых координат системы (1.1).

Рассмотрим возможные варианты применения выражения (1.8) для терминальной экстраполяции промаха. Учитывая необходимость ограничения числа членов разложения, воспользуемся понятием порядка экстраполяции, соответствующего числу N.

Экстраполированный баллистический промах порядка N по высоте вычисляется по формуле:

При N = 2 промах оценивается в соответствии с параболической теорией баллистического полета.

Экстраполированный баллистический промах порядка N по дальности определим следующим образом:

Таким образом, для экстраполяции промаха по дальности необходимо находить решение полиномиального уравнения порядка N. Использование в качестве функционала управления дальностью полета АБЛА экстраполированного промаха по высоте позволяет избежать указанного неудобства.

34

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

1.4. Операторные модели прогнозирования ошибки наведения

Стратегию терминального управления можно описать с помощью операторного преобразования функционала управления. При оценке прогнозирующих свойств операторных преобразований функционала управления на траекториях свободного полета АБЛА указанные преобразования рассматриваются как операторные модели прогнозирования ошибки наведения. Для нахождения баллистического промаха по высоте через экстраполированный промах порядка N применим правило интегрирования по частям, используя его (N – 2) раза к интегралу, входящему в правую часть равенства (1.7). В результате получим соотношение:

Расчет по формуле (1.11) реализуется с применением ЧПМ. Представим интеграл, входящий в правую часть выражения (1.11), в виде функции

Значение JN (x0 ,L* ) определяется однократным прогоном ЧПМ, а формула (1.11) приводится к виду:

В формуле (1.12) верхний предел интеграла соответствует текущей продольной координате и для его вычисления не требуется ЧПМ.

Рекуррентная формула повышения порядка экстраполяции баллистического промаха по высоте имеет вид:

1.5 Оценка методических погрешностей экстраполяции промаха

АБЛА

При проведении исследований получены варианты оценок методических погрешностей ПМ вдоль следующих баллистических траекторий:

35

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

−с начальным возмущением, когда заданная дальность полета

действия эквивалентных возмущений, приводящих либо к недолету, либо к перелету.

Для оценки точности прогноза выбрано подмножество баллистических траекторий полета на дальность, близкую к максимальной. Начальные условия

невозмущенной попадающей баллистической траектории. Равномерная сходимость экстраполирующей последовательности наблюдается после прохождения вершины траектории (после 40 секунд полета). Методическая погрешность экстраполятора второго порядка, соответствующая формированию прогнозируемой траектории без учета сопротивления атмосферы (параболическая теория движения[18]), более чем в 2 раза превышает методическую погрешность экстраполятора третьего порядка, и более чем в 4 раза – методическую погрешность экстраполятора пятого порядка.

Рис. 1.1 Графики изменения экстраполированного промаха по высоте на невозмущенной попадающей баллистической траектории

36

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

Уровень методических погрешностей экстраполяции выше второго порядка на нисходящем участке траектории практически не превышают уровень погрешностей прогноза, обусловленных постоянно действующими возмущениями. В этом случае нецелесообразно повышать порядок экстраполяции промаха выше третьего.

На рис. 1.2 представлены зависимости от времени функционалов h2, h3 и h4 вдоль попадающей траектории и вдоль траекторий, для которых заданная дальность отличается от баллистической. Для траектории с перелетом h = 7500 м, для траектории с недолетом h = ̶5100 м.

Рис. 1.2 Графики изменения экстраполированного промаха по высоте на попадающей баллистической траектории и на траекториях с

начальным промахом

Кривые изменения промаха селектируются по величинам его конечных значений, соответствующих вышеуказанным. Представленные результаты демонстрируют высокий уровень методических ошибок экстраполяции до завершения восходящего участка траектории.

На рис. 3 сравниваются зависимости от времени экстраполированных

действии эквивалентных возмущений, приводящих к недолету и перелету.

37

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

Эти зависимости получены для попадающей невозмущенной траектории (кривые асимптотически приближаются к оси абсцисс и сливаются, поскольку не зависят от способа прогноза) и для случаев действия эквивалентных возмущений, приводящих к недолету и к перелету. Кривые изменения промаха селектируются по величинам его конечных значений. Кривые 1, 2 и 3,

начальных точках. Указанные смещения соответствуют правильной по знаку реакции на возмущения.

На рис. 1.4 представлены оценки баллистического промаха, полученные с использованием операторных ПМ двух видов:

Оценки определены для невозмущенной баллистической траектории (см. рис. 1.4, кривая 2) и траекторий, рассчитанных для условий действия эквивалентных возмущений, приводящих к недолету и перелету (кривые 1 и 3 соответственно). На невозмущенной попадающей траектории методические

ошибки оценок баллистического промаха и f практически равны нулю, что соответствует отсутствию систематических ошибок функционала .

38

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

Результаты, представленные на рис. 1.4Б, показывают возможность реализации упреждающей отработки постоянно действующих возмущений,

соответствующей структуре оператора (1.12).

Функциональный коэффициент при производной интегральной компоненты промаха обеспечивает фильтрацию методических погрешностей оценки промаха, которые имеет тенденцию прицельного снижения к моменту завершения полета. Рациональное использование управляющих возможностей на начальном этапе полета существенно повышает предельный уровень отрабатываемых возмущений и, как следствие, точность системы наведения по дальности.

1.6 Прогнозирование промаха АБЛА с использованием аппарата косвенных программных функций

Применение ПМ, основанных на построении специальных экстраполирующих последовательностей, обладает рядом особенностей, учет которых позволяет минимизировать потребные для формирования ПМ ресурсы в порядке рассмотрения вариантов, эквивалентных по информативности прогноза. Использование в качестве функционала терминального управления дальностью полета АБЛА оценки промаха по высоте, с точки зрения организации вычислительного процесса, значительно проще, чем использование промаха по дальности. Однако, при построении алгоритма наведения по дальности необходимо учитывать, что от развиваемого АБЛА угла атаки, который играет роль управляющего параметра, непосредственно зависит производная промаха в картинной плоскости. При этом очевидно, что

39

СТРУКТУРНАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ НАУКИ КАК ОСНОВА УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА

траектории, а именно от угла наклона попадающей траектории в конечный момент времени f = (t f ) . Навесные траектории характеризуются низкой

управляемостью промахом по высоте, а на настильных траекториях может

Кроме того, при необходимости решения задач управления с прогнозом координат точки приземления АБЛА, в качестве функционала управления следует использовать промах по дальности. Если математический аппарат терминальной экстраполяции промаха напрямую использовать для оценки промаха по дальности, необходимо находить решение полиномиального уравнения (1.10), порядок N которого, соответствует порядку экстраполяции. Эта задача легко разрешима при отсутствии необходимости повышения порядка экстраполяции выше третьего, в силу наличия развитого математического аппарата решения кубических уравнений.

Исследование модификаций ПМ, основанных на КПФ, имеет целью не только понижение порядка экстраполяции путем приспособления параболической теории движения АБЛА к движению в атмосфере. Более значимая цель исследования - оценке возможности снижения методических погрешностей прогноза баллистического промаха АБЛА при отсутствии постоянно действующих возмущений. Доведение этих погрешностей до пренебрежимо малого уровня создает предпосылки для повышения точности косвенной компенсации возмущений.

1.6.1 Прогнозирование промаха методом параболической аппроксимации траектории АБЛА

Оценка баллистического промаха АБЛА по высоте с применением текущей параболической аппроксимации прогнозируемой траектории полета (параболическая экстраполяция промаха) определяется выражением:

ускорению силы тяжести, при котором промах по высоте соответствует (1.11) и

баллистического полета в безвоздушном пространстве и в фиктивном постоянном поле тяготения, соответствующем Eg , АБЛА достигал бы той же

дальности, что и при полете в стандартной атмосфере и поле тяготения Земли.

40