7.5. Сравнение методов анализа устойчивости нелинейных систем

Рассмотрим область устойчивости (рис.7.5.1) на плоскости обобщённых параметров α, β нелинейной системы. Из рассмотренных методов анализа устойчивости нелинейных систем только с помощью метода фазового пространства можно найти точную границу устойчивости. Этот метод позволяет найти как необходимое, так и достаточное условие устойчивости.

Прямой метод Ляпунова и частотный критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова позволяют найти только достаточное, но не необходимое условие устойчивости. При этом области устойчивости (1 и 2) получаются меньше, чем действительная граница, но эти методы гарантируют устойчивость этих в областях (1 и 2). В общем случае метод Ляпунова дает более узкую область достаточных условий, чем метод В.М. Попова. Метод гармонической линеаризации в зависимости от степени выполнения условия фильтра дает приближенное значение области устойчивости, однако, он не гарантирует устойчивость в данной области. Т.е. построенная с помощью метода гармонической линеаризации область устойчивости (3) может быть шире, чем в действительности.

Нанести параметры α, β

1 – граница по методу В.М. Попова

2 – граница по методу Ляпунова

3

Д.Г.У.

– метод гармонической линеаризации

Д.Г.У. – действительная граница

устойчивости

Рис. 7.5.1

Глава 8. Исследование устойчивости переходных процессов в нелинейных системах.

8.1. Абсолютная устойчивость процессов в нелинейной системе

f(x)

W(S)

g

-

-

-

r

r

Рис. 8.1.1

Выполнение в нелинейной системе (рис.8.1.1) только условий абсолютной устойчивости положений равновесия может не обеспечивать абсолютной устойчивости процессов, вызванных каким-либо ограниченным по модулю воздействием g(t).

Б.Н. Наумовым и Я.З. Цыпкиным был предложен критерий абсолютной устойчивости процесса в системе с однозначной нелинейностью.

Основные положения:

1. Для абсолютной устойчивости процессов в системе с одной однозначной нелинейностью достаточно, чтобы при заданном преобразованная передаточная функция линейной части была устойчива, частотная характеристика W(jω) при всех удовлетворяла бы условию . (8.1.1)

2. Нелинейная однозначная характеристика должна отвечать условию :

(8.1.2)

Т.е. производная нелинейной характеристики (крутизна ) должна лежать в секторе (r, k).

В

случае устойчивой линейной частиr=0, тогда условие или к виду (8.1.4)

Из условия (8.1.4) следует, что процессы будут абсолютно устойчивы, если АФХ расположена правее прямой



П

Рис. 8.1.2

ри неустойчивой линейной части. Введем в рассмотрение параметр .С учетом этого выражение (8.1.1) запишем в виде :

(8.1.5)

(8.1.6)

Найдем на комплексной плоскости и геометрическое место точек, соответствующее постоянным значениям A=const. Для этого заменим в выражении (8.1.5) знак неравенства на знак равенства. Затем, подставляя выражение (8.1.6) в выражение (8.1.5), прибавив и отняв , выделив действительную часть и приравняв ее к нулю, получим:

(8.1.7)

Выражение (8.1.7) описывает семейство окружностей с радиусом , проходящих через точку с координатами и лежащих левее прямой (семейство А-окружностей).

Нанести точки А₁ А₂ А₃

jkV

С

истема обладает абсолютной устойчивостью.

Д



kU

- А₁

- А₂

- А₃

ля абсолютной устойчивости процессов в нелинейной системе с одним нелинейным элементом достаточно, чтобы производная нелинейной характеристики лежала в секторе (r, k), а приведенная АФХ , удовлетворяя критерию Найквиста, не пересекала бы соответствующие A-окружности.

П

Рис. 8.1.3

ри устойчивой линейной части и А-окружность переходит в прямую линию (окружность бесконечного радиуса.

2. Исследование абсолютной устойчивости процессов по ЛЧХ

(логарифмический критерий абсолютной устойчивости)

Рассмотрим систему с устойчивой линейной частью и нелинейностью, отвечающей условию . (8.2.1)

Условие абсолютной устойчивости имеет вид:

(8.2.2)

Частотные характеристики линейной части представим в виде:

(8.3.3)

Условие (8.2.2) с учетом (8.3.3) можно заменить равноценным условием

(8.2.4)

Условие (8.2.4) автоматически выполняется в диапазоне частот, где , поэтому необходимо исследовать систему лишь при значениях

(8.2.5)

Следовательно вместо условия (8.2.4) можно потребовать выполнения равносильного ему условия:

(8.2.6)

Если перейти к логарифмическим характеристикам, получим:

(8.2.7)

(8.2.8)

–логарифмическая характеристика критического коэффициента передачи H*(ω).

Формулировка критерия: При ограниченном возмущении g(t) и нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию (8.2.1), для абсолютной устойчивости процессов в системе достаточно, если в диапазоне частот, где выполняется условие (8.2.5), нормированная ЛАХ не пересекает ЛАХ критического коэффициента передачи , т.е. условие устойчивости кратко можно представить:

При практическом использовании ЛАХ обычно строят (рис. 8.2.1) в диапазоне углов: по формуле (8.2.8).

При углах меньших и больших условие (8.2.4) выполняется автоматически и проверки не требует..

Рис. 8.2.1

Рис. 8.2.2

По характеристикам и можно определить величину смещения , обеспечивающую абсолютную устойчивость процесса.

Если обозначить через K коэффициент передачи линейной части в точке касания и , то .

(8.2.10)

Пример

(8.2.11)

20

1

10

0.1

L=20 lg 

_э

40

10

100

L_кр()



L()

-1

-2

-1



()

-3

Рис. 8.2.3

Условие устойчивости выполняется. K можно еще увеличить на , чтобы увеличить быстродействие и точность.

87