Tipovoy_raschet_variant_15_ryady_bntu

Контрольная работа №10.

Вариант 15.

Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:

Решение:

а)

Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме:

Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь

Вычислим предел:

Согласно признака Даламбера ряд расходится.

Для ответа на вопрос о сходимости ряда применим радикальный признак Коши

Вычислим предел:

Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме:

Ответ: а) ряд сходится; б)ряд расходится; в) ряд сходится; г) ряд сходится;

Задание 2. Найти область сходимости ряда:

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера

Выпишем

Воспользуемся признаком Д’Aламбера:

Исследуем данный ряд на концах интервала сходимости:

Применим признак Лейбница:

Проверим необходимое условие сходимости:

Областью сходимости является

Ответ: область сходимости

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:

Решение: запишем разложение

Для получения заданной точности нужно первые три члена, поскольку

Ответ:

Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:

Решение:

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи y(0)=0 Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства по :

Окончательно получим:

Ответ:

Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале ( ; )

Решение: Ряд Фурье будет по косинусам функции f(x) периода T=2 , непрерывной или имеющей конечное число точек разрывов первого рода отрезке (0; ), имеет вид:

Вычисляем коэффициенты:

Тогда разложение имеет вид:

Ответ:

Задание 6. Определить, является ли функция решением дифференциального уравнения в частных производных

Решение:

Вычислим частные производные по х и по у:

Подставим данные значения в дифференциальное равенство: