3
.pdfЗадача типа III
Эллипсоидальная функция распределения молекул по скоростям имеет вид:
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f n(x) |
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2 RT (x) |
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Рассматривается следующая одномерная стационарная задача об интенсивном испарении. Известны температура межфазной поверхности TГ и
соответствующая этой температуре по линии насыщения равновесная плотность пара Г, а также плотность пара вдали от границы раздела фаз .
Используя эллипсоидальное распределение, предложите алгоритм определения температуры, давления и скорости пара вдали от границы раздела фаз.
Как найти зависимости плотности, давления, температуры и скорости пара от нормальной к межфазной поверхности координаты x?
X >> l
f
u
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x |
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( x u ) |
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f n |
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Напомним результаты вычисления полезных для предстоящего решения
задачи интегралов.
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e x2 dx |
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e x2 dx |
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e x2 xdx |
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e x2 xdx |
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e x2 x2dx |
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e x2 x3dx |
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e x2 x3dx |
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2 |
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2 |
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e x2 x4dx |
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; e x2 x4dx |
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8 |
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b |
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e a2 |
e b2 |
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e x2 xdx |
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2 |
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a |
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Решение
Проведем следующие преобразования, необходимые при введении
соответствующей замены переменных.x x u u x u u 1
Для эллипсоидальной функции распределения:
1 n ; x u 0 ; x nu , x u 3 0 .
Система моментных уравнений для четырех-моментной аппроксимации. m x jx
m x2 xx m2 x 2 x
dxd m x2 2 I (m x 2 )
Уравнение сохранения массы имеет вид:
m x jx |
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или: |
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(x)u(x) u |
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Уравнение сохранения импульса имеет вид: |
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m |
x |
2 |
xx |
или: |
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x |
2 |
( |
x |
u)2 2 |
x |
u u2 |
( |
x |
u)2 |
2u |
x |
u2 |
1 |
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( |
x |
u)2 |
2nu2 nu2 ( |
x |
u)2 nu2 |
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u)2 |
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1 |
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n |
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1 |
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2 |
nRT nu2 |
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( |
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n |
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RT |
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2 RT , |
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x |
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x |
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2 RT 2 |
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2 RT |
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2RT |
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Уравнение сохранения импульса может быть выражено так:
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(x)RT (x) (x)u2(x) |
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RT u |
2 |
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Уравнение сохранения энергии |
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m |
2 |
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или: |
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x |
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2 |
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x |
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x |
2 |
3 |
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2 |
2 |
2 |
2 |
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y |
2 |
2 |
; |
|||||
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x |
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x |
y |
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x |
z |
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x |
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z |
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x ( x u) u
x3 ( x u)3 3u x2 3u2 x u3
( |
x |
u)3 3u |
2 |
3u2 |
x |
u3 |
1 |
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x |
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3u |
2 2nu3 3unRT 3nu3 2nu3 |
3unRT nu3 |
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x |
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2 |
( |
x |
u) |
2 |
u |
2 |
unRT |
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x |
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y |
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y |
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x |
2 3unRT nu3 |
2unRT |
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Уравнение сохранения энергии может записано следующим образом:
(x)u(x) |
3RT (x) u |
2 |
(x) 2RT (x) |
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(x)u(x) |
5RT u |
2 |
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В заключительном четвертом уравнении моментной системы под знаком производной в левой части находится момент функции распределения
x2 2 . Вычислим этот интеграл:
x2 2 x4 x2 y2 x2 z2
a b 4 (a2 2ab b2 )(a2 2ab b2 ) a4 2a3b a2b2 2a3b 4a2b22ab3 a2b2 2ab3 b4 a4 4a3b 4a b3 6a2b2 b4
a b 4 (a2 2ab b2 )(a2 2ab b2 ) a4 2a3b a2b2 2a3b 4a2b22ab3 a2b2 2ab3 b4 a4 4a3b 4a b3 6a2b2 b4
x4 ( x u)4 4( x u)3u 4( x u)u3 6 ( x u)2u2 u4 1
34 4R2T 2n 6u 2nRT nu4
x2 y2 (nRT u2n)RT
x2 2 n(3R2T 2 6RT u2 u4 ) 2n(RT u2 )RT
Четвертое моментное уравнение системы |
d |
m |
2 2 |
I (m 2 ) |
примет вид: |
||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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dx |
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x |
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x |
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d |
(3R2T 2 6RT u2 u4 ) 2 (RT u2 )RT |
I (m 2 ) |
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||||||||||||||||
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dx |
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|
x |
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Известно, что: |
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I x |
2 |
2 A2 |
K1 |
|
2 |
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|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
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1 |
x |
|
2 |
x |
|
|
|
x |
x |
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||||||
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2m |
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|||||||||||||||
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Таким образом система моментных уравнений такова:
(x)u(x) u
(x)RT (x) (x)u2(x) RT u 2
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(x)u(x) |
3RT (x) u2 (x) 2RT |
(x) |
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(x)u(x) |
5RT |
u |
2 |
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(I) |
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||||||||||||||
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2 |
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2 |
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d |
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x |
3R2T 2 |
x 6RT x u |
x 2 u x 4 |
2 x (RT x u x 2 )RT x |
|
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|||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
dx |
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||||
2m A |
|
K1 |
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1 2 2 |
|
2 |
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|
2 |
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||||
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|||||||||||
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2 2m |
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x |
x |
|
x |
|
x |
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Граничные условия
X=0
f
Г, TГ
(0), u(0),
0 |
x |
X=0 |
X =0 |
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f |
f |
|
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Г, TГ |
(0), u(0), |
|
u(0)
0 |
x |
0 |
x |
x x Э
x nГ |
RTГ |
|
2 |
||
|
Введем обозначение: y x u
|
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0
Далее из приравнивания потоков массы для частиц, летящих от поверхности:
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Аналогично для потоков импульса: |
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Аналогично для потоков энергии: |
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В этой системе (II) шесть уравнений и 6 неизвестных n(0),T (0),T (0),u(0),u ,T
Т.о. алгоритм таков:
1. Из моментной системы (I) определяется u(x)=Fu(x)
2. Из (II) находится u(0)
Результат получен.