1
.pdfЗадача типа I
Сформулировать систему уравнений, позволяющую определить величину теплового потока через плоский слой разреженного газа. Состояние этого газа описывается четырехмоментным двухсторонним максвеллианом с параметрами n1, T1, n2, T2. Задача стационарная. Известны: температуры поверхностей TГ и ТХ, расстояние между ними L, плотность газа вблизи горячей поверхности X=0. Считается, что на горячей поверхности осуществляется полная энергетическая аккомодация, а на холодной коэффициент аккомодации, рассчитываемый по TПАД и TОТР равен 0,8.
Решение
Задача представляет собой тип I. Выбирается следующая четырехмоментная аппроксимация функции распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
f |
n (x) |
|
|
1 |
|
exp |
|
x |
y z |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2RT1(x) |
|
|
|
||||||||
|
|
2 RT1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|||||||
f2 |
n2 (x) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
2 RT2 (x) |
|
2RT2 |
(x) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0
x 0
Система уравнений сохранения массы, импульса, энергии для принятой аппроксимация функции распределения и произвольного значения
координаты x имеет вид: |
|
||
n (x)T 112 |
(x) n (x)T |
2 12 (x) 0 |
|
1 |
2 |
|
|
n1(x)T 1 (x) n2(x)T 2 |
(x) xx |
(I) |
|
n (x)T 132 |
(x) n (x)T |
232 (x) q |
x |
1 |
2 |
|
|
Эта система уравнений справедлива при любом x , т.е. и при x 0.
Следовательно, из (I) вытекают представленные ниже уравнения (1) – (3):
n (0)T 1 |
12 |
(0) n |
(0)T 2 |
12 (0) 0 |
(1) |
1 |
|
2 |
|
|
|
n1(0)T 1 (0) n2(0)T 2 |
(0) xx |
|
(2) |
|
|||||||
n (0)T 132 (0) n (0)T |
2 |
3 |
2 (0) q |
x |
(3) |
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично при x 1 из (I) следует система уравнений (4) – (6): |
|
|
|||||||||
n (1)T 1 |
12 |
(1) n (1)T |
2 |
12 |
(1) 0 |
|
(4) |
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1(1)T 1 (1) n2 (1)T 2 |
(1) xx |
|
|
(5) |
|
|
|||||
n (1)T 132 |
(1) n (1)T |
2 |
32 |
(1) q |
x |
|
(6) |
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единица для безразмерной системы, для размерной записывается через L. |
|
||||||||||
Продолжение решения задачи типа I |
|
|
|||||||||
В шести уравнениях (1) |
|
– (6) содержатся десять |
неизвестных: |
||||||||
n1(0), T 1 (0), n 2(0), T 2 |
(0),n1(0), T 1 (1), n 2(1), T 2 (1), xx, qx , |
т.е. |
для |
||||||||
замыкания системы уравнений, описывающей поставленную задачу, нужно сформулировать еще четыре уравнения.
По определению плотности газа как момента функции распределения и
принятой аппроксимации этой функции в виде четырехмоментного
двухстороннего максвеллиана получим:
n1(0) n2 (0) x 0 2 m
(7)
Восьмое уравнение выводится приближенно из четвертого уравнения моментной системы путем приближенного вычисления интеграла в правой его части за счет применения теоремы о среднем. Известно, что:
b |
c a,b , если f(x) – интегрируема (непрерывна), |
f (x)dx (b a) f (c) ; |
|
a |
|
ограничена, не меняет знак. Эти условия выполняются, т.к. в данном случае f(x) – это плотность пара, которая по своему физическому содержанию не может быть в данном случае разрывной, менять знак, а значения плотности ограничены определенными величинами. Следовательно, применение теоремы о среднем этим обосновано.
b
f (x)dx (b a) f (c) ; c a,b
a
При |
f (x) n(x) |
n1(x) |
|
n2 (x) |
, |
a 0, b 1, b a 1, 0,1 : |
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
n1(x) |
|
|
n(x)dx 1 |
dx |
|||
2 |
||||
0 |
0 |
|
||
|
|
|||
Приближенно:
12 n1( 1) n2 ( 2 ) 12
1
1 n22(x) dx 12 n1( 1) n2 ( 2 ) , 1 0,1 , 2 0,1
0
n1(0) n1(1) |
n2 (0) n2 (1) |
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
Соответственно четвертое уравнение моментной системы
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n1T1 |
n2T2 |
|
0,45 |
Exn 5 jx xx |
, |
(27г ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Knб |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q x |
|
d n1T1 n2T2 |
|
|
0,45 |
qxn |
|
|||||||||||
|
при |
j x |
0, E x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Knб |
|
|
|
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0.45 |
n |
(0) n |
(1) n (0) n (1) |
|
|
||||||||
|
n1(1)T 1 |
(1) n2 (1)T 2 |
|
(1) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
qx |
|
||||||
|
|
Knб |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||
|
n (0)T |
2 |
(0) n (0)T |
2 (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициент аккомодации энергии, рассчитываемый по TПАД и TОТР ,
запишется так:
TПАД TОТР .
TПАД TРАВН
Соответственно при x 0 |
|
Г |
|
T2 (0) T1(0) |
. По условию задачи на горячей |
||
|
|||||||
|
|
|
T2 |
(0) |
TГ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
поверхности осуществляется полная энергетическая аккомодация, т.е. Г 1.
Следовательно:
T1(0) TГ (9)
При x 1 Х T1(1) T2 (1) . По условию задачи Х 0.8 , откуда следует, что
T1(1) TХ
по определению:
|
TПАД TОТР |
|
T (1) T (1) |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
0.8 |
(10) |
T |
T |
T (1) T |
Х |
|||||
|
ПАД |
РАВН |
|
1 |
|
|
|
|
Полученная система уравнений (1) – (10) замкнута относительно неизвестных
n1(0), T 1 (0), n 2(0), T 2 (0), n1(1), T 1 (1), n 2(1), T 2 (1), xx, qx .
Ответ: Сформулирована система уравнений (1) – (10), позволяющая определить величину теплового потока qx через плоский слой разреженного газа.