Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Моделирование информационно-управляющих систем

Файл:

Лабораторная работа №2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2024

Размер:

848.88 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Лабораторная работа №2. Исследование элементарных звеньев и построение их

характеристик.

Москва 2024

Цель работы.

1.Ознакомиться с временными и частотными характеристиками типовых

звеньев.

2.Получить практические навыки построения характеристик в среде

MatLab.

Теоретическая часть

Звено – математическая модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка, и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны в виде:

	b		s	m	b		s	m 1		... b
W (s)
	0				1					m
	a		s	n	a		s		n 1	... a

		0				1					n



( 1 )

Их всегда можно представить как соединение типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.

Из курса алгебры известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители – множители вида:

k	s; d	s d		; d	s	2	d		s d
						2
1	1		2	1				2		3

Следовательно, передаточную функцию (1) можно представить произведение простых множителей вида (2) и простых дробей вида:

;

s d

( 2 )

как

( 3)

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей, называют типовыми или элементарными звеньями.

В дальнейшем будем рассматривать звенья соответственно обозначениям, указанным на рисунке:

Рисунок – Принятые обозначения

Пропорциональное звено

вида

Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением x t k u t или передаточной функцией W s k .

Частотные характеристики этого типового звена имеют вид:

W jw k; U k; V 0; A k;0; L 20 lg k;

Временные характеристики этого типового звена имеют вид:

h t k 1 t ; w t t ;

Рисунок 1 – Характеристики пропорционального звена, при к=2 На рисунке 1 представлены логарифмические частотные и переходная

характеристики пропорционального звена при k=2.

Интегрирующее звено

Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением

s x k u	или передаточной функцией W s	k	.
s x k u	или передаточной функцией W s		.
		s
Частотная передаточная функция W jw				k	jk	.
Частотная передаточная функция W jw				j		.
				j

Остальные характеристики имеют вид:

U 0;
V		k	;
V			;

A	k	;
A		;

			;
		2	;
		2
L 20 lg k 20 lg ;

Временные характеристики имею вид: h t k t; w t k;

Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рисунок 2а) параллельна

оси частот и проходит на уровне				2	;	т.е. сдвиг фазы не	зависит от


частоты и равен –		. ЛАЧХ (рисунок 2а) – наклонная прямая, проходящая через
	2

точку с координатами			1; L 20 lg k .			Как видно из	уравнения
L 20 lg k 20 lg ,		при увеличении частоты				на одну декаду ордината L

уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек. Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k (рисунок 2б).

Рисунок 2 – Характеристики интегрирующего звена при k=2

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением x k s u или передаточной функцией W s k s .

Частотные характеристики имеют вид:

	W j jk ;
	U ω 0;
	V k ;
	A ω k ;
	ω		π	;
	ω		2	;
	L ω		2
	L ω	20lg k 20lg ;
Временные характеристики имеют вид:
	h t δ t ;
	ω t δ t ;
Амплитудно-фазовая частотная характеристика совпадает с положительной
мнимой полуосью. ЛФЧХ параллельна оси частот и проходит на уровне								2	;
									;

т.е. сдвиг	фазы		не зависит от частоты и		равен	2	. ЛАЧХ есть прямая,
т.е. сдвиг	фазы		не зависит от частоты и		равен		. ЛАЧХ есть прямая,

проходящая через точку с координатами 1					и L 20 lg k и имеющая наклон
20 дБ/дек;	L	увеличивается на 20 дБ/дек при увеличении частоты на одну
декаду.

Апериодическое звено

Апериодическим звеном

описывается уравнением

первого s 1 y k u

порядка	называют звено,	которое
(4) или	передаточной	функцией

W s

kTs 1

Это звено также называют инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от рассмотренных выше звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .

Частотная передаточная функция:

W j Tj k 1 ;

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим частотные характеристики:

U ω k ;

Tω 2 1

V ω kTω ;

Tω 2 1

Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.

Так как модуль числителя частотной передаточной функции равен k , а

модуль знаменателя

T 2

, то

A	k
A	T	1
	2

( 5 )

Аргумент числителя

W j

равен нулю, а аргумент знаменателя

arctg T

поэтому ω arg W jω arctg ωT .

С учетом уравнения (5) получим:

			2
		L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg Tω 1
При	1	в сумме	2
При	T	в сумме	Tω 1 первым слагаемым можем пренебречь и
	T
выражение (6) примет вид:			L 20 lg k , т.е. это прямая линия, параллельная

оси абсцисс.

( 6 )

При

		1
		T
		T

в сумме

Tω	1
2

можем пренебречь 1, тогда выражение (6)

	L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg					20 lg k 20 lg T , как видно
примет вид:	L ω 20 lg A ω 20 lg k 20 lg				Tω 2	20 lg k 20 lg T , как видно
из этого уравнения, при увеличении частоты на						одну декаду ордината L
уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек.
Таким	образом,	асимптотическую ЛАЧХ				можем представить в виде
соединяющихся в точке			1	двух линий: слева – параллельной оси абсцисс, а
соединяющихся в точке			T	двух линий: слева – параллельной оси абсцисс, а
			T

справа – идущей с наклоном –20 дБ/дек.
	Частоту, на которой ЛАЧХ меняет наклон, будем называть сопрягающей.
	Вычислим истинное		значение ЛАЧХ на	сопрягающей	частоте:

		1	2
L c	\|k 1 20 lg 1 20 lg T		1 20 lg 2 3 дБ ,	т.е. истинное	значение
L c	\|k 1 20 lg 1 20 lg T	T	1 20 lg 2 3 дБ ,	т.е. истинное	значение
		T

характеристики меньше асимптотического на 3 дБ.

Решив дифференциальное уравнение (4) при u 1 t и нулевом начальном


		t T		k		t T
условии, получим h t k 1	e		. Весовая функция t h t		e		.
условии, получим h t k 1	e		. Весовая функция t h t		e		.
				T

Рисунок 3 – АФЧХ апериодического звена, при Т=1, к=1 АФЧХ апериодического звена (рисунок 3) есть окружность, в чем нетрудно

убедиться, исключив из параметрических уравнений АФЧХ частоту.

Рисунок – 4 Логарифмические характеристики апериодического звена при Т=1, к=1 Логарифмические частотные характеристики представлены на рис. 4. Логарифмическая фазовая частотная характеристика асимптотически

стремится к нулю при

и к


		2
		2

при . При

фазовая частотная

функция принимает значение 4 . ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют

одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо одной характеристики параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени T .

Переходная характеристика апериодического звена (рисунок 5а) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней можно определить

следующие параметры: передаточный коэффициент, равный установившемуся значению h ; постоянную времени Т и другие характеристики.

Импульсная переходная характеристика представлена на рисунке 5б.

Рисунок 5 – Временные характеристики апериодического звена

Форсирующее звено.

Форсирующим звеном, или форсирующим звеном первого порядка

называют звено, которое описывается уравнением

x k T s 1 u

или

передаточной функцией W s k T s 1 .

Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k .

Частотная передаточная функция:

W j k Tj 1 ;

Остальные частотные характеристики имеют вид: U ω k, V ω kTω; A ω k Tω 2 1;ω arctg T ω ; L ω 20 lg k 20 lg Tω 2 1;

Временные характеристики имеют вид:

h t k Tδ t 1 t ; w t k Tδ t 1 t ;

АФЧХ есть прямая, параллельная мнимой оси и пересекающая действительную ось в точке U k . Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена:

20 lg k	при ω 1	,

L ω	T
	T
20 lg k 20 lg T при ω			1
			T
			T
ЛФЧХ форсирующего звена		можно	получить зеркальным отражением

относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена.

Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья.

Звено, которое можно описать уравнением

T	2	s T s 1 x
	2
0		1

, или в другой

форме

T	2	s	2

2 Ts 1 x

, где

T T	,
0

		T
		1	2T
		1

, или передаточной функцией

W s						k	, называют колебательным при
	T		2	s	2	2Ts 1


0 T1		0 , и апериодическим второго порядка

называют коэффициентом демпфирования.

0 1 , консервативным при при 1. Коэффициент

Колебательное звено (

Частотная передаточная функция

W j				k
	T			j2T
1			2
		2

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:

	k 1 T
U					2	2
U	2		2	2			2	;
	2		2		2T		2
	1 T				2T
V		2k T						;
V	2		2	2			2	;
				2
					2T
	1 T				2T

Фазовая частотная функция, монотонно от 0 до и выражается

как это видно из АФЧХ (рис. 6), изменяется формулой



arctg

, при 1

T ,

arctg

, при

Логарифмическая фазовая частотная асимптотически стремится к оси частот, а при

Амплитудная частотная функция

A	k	,


	1 T 2 2 2 2T 2

характеристика (рис.

- к прямой

6) при 0

ЛАЧХ имеет вид:

		2	2	2		2
L 20 lg k 20 lg	1 T				2 T

Рисунок 6 – Частотные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 Переходная функция:

Весовая функция:
	k α	2	β	2
w t h t					e	αt	sin βt
w t h t			β		e		sin βt
			β

Рисунок 7 – Временные характеристики колебательного звена при Т=1; 2*ksi*T=0.3 По переходной характеристике (рисунок 7) можно определить параметры

колебательного звена следующим образом:

Консервативное звено ( 0 ).

Передаточная функция

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лабы ИВТ 2й семестр

#
01.05.2024848.88 Кб3Лабораторная работа №2.pdf
#
01.05.2024463 Кб3Лабораторная работа №3.pdf
#
01.05.2024305.3 Кб3Лабораторная работа №4.pdf
#
01.05.2024204.23 Кб3Лабораторная работа №5.pdf