1.2. Основные определения

• Функция f(X), определенная на множестве D, достигает локального минимума в точке X, если для всех X, принадлежащих достаточно малой окрестности точки X, справедливо неравенство

и достигает локального максимума, если

,

т.е. существует>0, такое, что для всехX, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство,

или .

• Функция f(X), определенная на множестве D, достигает глобального минимума в точке X, если

и достигает максимума, если

для всех X, принадлежащих множеству D.

• Максимум или минимум функции называется ее экстремумом

• Функция f(X) называется выпуклой в области D, если для любых двух точек X и XD и (), справедливо неравенство

и называется вогнутой, если

.

• Дважды непрерывно дифференцируемая функция f(X) является выпуклой (вогнутой) тогда и только тогда, когда матрица частных производных второго порядка f(X) по X (матрица Гессе) положительно (отрицательно) полуопределена для всех X.

• Для того чтобы симметрическая матрица была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные миноры были положительны, т.е.

; …;

для матрицы положительные.

• Для того чтобы симметрическая матрица была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства ,1, 2, …,n.

• Функция называется унимодальной, если она имеет только один экстремум в области определения.

1.3. Классический метод определения экстремума функции

Пусть дана следующая задача: требуется минимизировать f(X), .

Для задачи нелинейного программирования при отсутствии ограничений при условии того, что точка - точка локального минимума, необходимо, чтобы

1) функция f(X) была дифференцируема в точке ;

2) .

Достаточные условия того, что - точка локального минимума задачи включают 1 и 2 условия, приведенные выше, и

3) , т.е. матрица Гессе была положительно определенной.

Соответствующие условия для максимума те же самые, за исключением того, что матрица Гессе для должна быть отрицательно определенной.

Пример. ;

,

тогда ,.

Вычисляем гессиан функции в этой точке:

,

так как ,. Следовательно, функцияf(X) имеет в этой точке минимум, т.е. и.

Классический метод определения экстремума функции требует, чтобы функция была дифференцируема, и для нахождения точки экстремума требуется решить систему n алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных). Решение такой системы связано с большими трудностями.

Рассмотренный классический метод решения задачи безусловной оптимизации можно применить только к малому количеству практических задач. Рекомендуется использовать приближенные методы решения, которые будут рассмотрены в следующих главах.

Контрольные вопросы и задания

1. Какая функция называется унимодальной?

2. Какая функция называется выпуклой?

3. Какие из следующих функций являются выпуклыми или вогнутыми:

   1. ;

   2. ;

   3. .

4. Дайте определение точки локального минимума функции нескольких переменных.

5. Определите экстремум функций:

   1. ;

   2. ;

   3. .

6. Определите направление наискорейшего убывания функции в точке:

6.1. ,;

6.2. ,.