Контрольные вопросы и задания

1. Определите условный экстремум следующих функций:

1.1. при;

2. при ;

3. при .

2. Как изменятся условия Куна-Таккера, если требуется максимизировать функцию?

3. Почему штрафная функция вида называется барьерной?

4. Назовите основные недостатки метода последовательной безусловной оптимизации.

5. Какой тип штрафной функции можно использовать для задачи с ограничениями типа равенства?

6. Какие точки участвуют при поиске методом скользящего допуска?

7. Какое условие является критерием остановки в методе скользящего допуска?

Глава 5. Линейное программирование

Задача линейного программирования (ЛП) состоит в оптимизации линейной функции при наличии линейных ограничений. Методы ЛП широко используются для решения различных военных, экономических, промышленных и организационных задач. Главными причинами столь широкого применения таких методов являются доступность математического обеспечения и возможность анализа решений задач ЛП.

Многие практические задачи могут быть сформулированы в виде задачи ЛП. Кроме того, эти задачи часто используются в процессе решения нелинейных оптимизационных задач.

Для задач ЛП разработан универсальный симплекс-метод, который входит в любой пакет прикладных программ.

Транспортная задача представляет собой особый случай задачи ЛП; для нее разработан метод потенциалов.

5.1. Постановка задачи лп

Приведем пример постановки задачи и построение математической модели задачи линейного программирования. Вначале рассмотрим задачу о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица может выпускать видов продукции. Предприятие при этом должно ограничитьсяимеющимися видами ресурсов. Известна экономическая выгода (прибыль) производства единицы продукции каждого вида. Заданы технологические коэффициенты, которые показывают: сколько единиц-го ресурса требуется для производства единицы продукции-го вида, т.е.. Составить план выпуска продукции, чтобы обеспечить максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Построим математическую модель. Пусть - количество продукции-го вида, которое требуется произвести.

Учитывая тот факт, что предприятие не может потратить больше ресурсов, чем их имеется, и что каждый ресурс может быть использован для производства любого вида продукции, запишем ограничения задачи:

по смыслу задачи

, .

Целевая функция задачи – объем реализации или прибыль - имеет вид

Как видно из приведенного примера, построенная математическая модель имеет характерные особенности: и целевая функция, и функции ограничения являются линейными.

Построение математической модели задачи ЛП выполняется в определенном порядке:

• вводятся переменные величины задачи, т.е. такие величины, заданием числовых значений которых однозначно определяется один из вариантов исследуемого процесса;

• исходя из условий задачи записываются ограничения, которым должны удовлетворять введенные переменные;

• составляется целевая функция, которая в математической форме выражает критерий выбора лучшего варианта.

Общая задача линейного программирования формулируется следующим образом:

при условиях

; .

Предполагается, что значения () известны (выявлены на стадии анализа реальной ситуации).

Введем матричные обозначения:

; ;

С=;X=.