12

Обычный курс, 5 лет

Семестр 3

Высшая математика

Контрольная работа №3

Для экономических специальностей заочной формы обучения

Вариант а

Задание 1. Решить задачу, используя классическое определение вероятности и правила комбинаторики.

а) В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных шара.

б) Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?

Решение. Вспомним классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

Вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1^о. P(A)=1, если А – достоверное событие;

2^о. P(A)=0, если А – невозможное событие;

3^о. 0<P(A)<1, если А – случайное событие.

Для подсчета вероятностей по классической формуле обычно используют методы комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с каким-либо правилом.

Существует две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов. Это означает, что в выборке невозможны повторения элементов. Во второй схеме выбор осуществляется по-элементно с обязательным возвращением отобранного элемента при каждом шаге. Это означает, что в выборке возможны повторения.

После того. как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы могут быть либо упорядочены, либо неупорядочены. В первом случае, выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание, и такие выборки объявляются тождественными.

Набор Выбор	Упорядоченный	Неупорядоченный
Без возвращений (без повторений)	Размещения	Сочетания
С возвращением (с повторениями)	Размещения с повторениями	Сочетания с повторениями

а) Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:

Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m₁=C₂²=1 способом, два разных цветных шара m₂=C₃¹C₅¹=35=15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m = m₁+m₂ = 16. Таким образом,

б) Всего имеется 10 цифр. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно

Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторений

Таким образом, искомая вероятность равна

Задание 2. Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

а) Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,8. Какова вероятность поражения цели, если в 2% случаях бывают осечки, т.е. в 2% случаях выстрела не происходит?

б) Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Вспомним теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

P(A+B) = P(A) + P(B).

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

P(A+B) = P(A)+P(B)–P(AB).

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

P(AB) = P(A)P(B).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

P(AB) = P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A).

Достоверное событием обычно обозначается символом , невозможное событие – символом . Тогда

A+B	сумма событий, означающее, что произошло хотя бы одно из двух событий
AB	произведение событий, означающее, что оба события произойдут одновременно
A–B	разность событий, означающее, что произойдет событие А, но не произойдет событие В
=–A	противоположное событие, означающее, что событие А не произойдет

а) Пусть событие В состоит в том, что выстрел произошел, тогда событие означает противоположное событие, т.е. что произошла осечка. По условию P()=0,02, отсюда получаем P(B)=1–P()=0,98. По условию задачи P_B(A)=0,8. Поражение цели означает совмещение событий В и А, т.е. что выстрел произойдет и даст попадание. Поэтому

P(AB) = P(B)P_B(A) = 0,980,8 = 0,784.

б) Пусть A₁={первый стрелок попал по цели}, A₂={второй стрелок попал по цели}. Мишень будет поражена (событие В), если произойдет событие А₁+А₂. Поскольку события А₁ и А₂ совместны, но независимы, то

P(А₁+А₂) = P(А₁)+P(А₂)–P(А₁)P(А₂) = 0,7+0,8–0,70,8 = 0,94.

Отметим, что событие В можно записать также в виде A₁+A₂+A₁A₂. Тогда получим

P(B) = P(A₁)P()+P()P(A₂)+P(A₁)P(A₂) == 0,80,3+0,20,7+0,70,8 = 0,94.

Задание 3. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулу Байеса.

а) В первой урне находится 5 белых и 3 черных шара. Во второй – 4 белых и 5 черных шара. Из первой урны во вторую наугад перекладывают два шара. После этого из второй урны вынимают сразу 4 шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

б) Двое стрелков произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,4. Мишень поражена одним попаданием. Определить вероятность того, что в мишень попал первый стрелок?

Решение. а) Вспомним теорему о полной вероятности

Если событие А может осуществляться только при выполнении одного из событий В₁, В₂, ... , B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то P(A) вычисляется по формуле:

.

По условиям данной задачи, результат второго испытания (т.е. вынимание шаров из второй урны) зависит от того, какие шары были переложены из первой урны. Здесь возможны три случая:

B₁ = {оба шара белые},

B₂ = {оба шара черные},

B₃ = {один белый, один черный шар}.

Очевидно, что события B₁, B₂ и B₃ несовместны и образуют полную группу. Их вероятности равны

, , .

Условные вероятности события А={шары одного цвета}, равны

, , .

Применяя формулу полной вероятности, получим

.

б) Вспомним формулу Байеса:

.

По условиям данной задачи, результат До стрельбы возможны следующие предположения (гипотезы):

B1 = {оба стрелка не попали}, B2 = {оба стрелка попали}, B3 = {попал только первый стрелок}, B4 = {попал только второй стрелок},

P(B1) = 0,20,6 = 0,12, P(B1) = 0,80,4 = 0,32, P(B1) = 0,80,6 = 0,48, P(B1) = 0,20,4 = 0,08.

Эти события образуют полную группу несовместных событий. Пусть А – поражение мишени одним попаданием, тогда ее вероятность можно найти по формуле полной вероятности:

= 0,120+ 0,320+ 0,481+ 0,081 = 0,56.

Здесь учтено, что при осуществлении событий В₁ и В₂ событие А – невозможно, при осуществлении событий В₃ и В₄ событие А – достоверное. В результате, по формуле Байеса находим:

.

Задание 4. Решить задачи, используя формулу Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа.

а) Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных?

б) Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей: 1) 356 окажутся стандартными; 2) более 350 деталей окажутся стандартными.

Решение. а) Проведем n испытаний Бернулли, т.е. что все n испытаний независимы и вероятность появления события А в каждом отдельном взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность P(A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P(A)=p, а вероятность противоположного события P() – буквой q, т.е. P() = 1–P(A) = 1–p = q. Вероятность P_n(m) того, что событие A появится ровно m раз в n испытаниях Бернулли равна

.

Это есть формула Бернулли.

По условию задачи, вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным равна q=0,02. Вероятность того, что изделие окажется стандартным равна p=1–q=0,98. Поскольку эти вероятности постоянны и не изменяются от испытания к испытанию, то для подсчета вероятности можно применить формулу Бернулли. Появление более четырех стандартных изделий означает, что среди 6 взятых деталей окажутся 5 или 6 стандартных. Следовательно

= 50,98⁵0,02¹ + 10,98⁶0,02⁰  0,9943.

б) Применим к случаю 1 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико (обычно n50), при этом npq1, то справедлива приближенная формула

,

где , .

Ввиду важности функции (x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция (x) четная, т.е. (–x)=(x).

Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции (–0,6667)=0,31945. В результате, получаем

.

Применим теперь к случаю 2 локальную теорему Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для вероятности P_n(k₁mk₂) того, что число успехов заключено в пределах от k₁ до k₂, справедливо приближенная формула

,

где , – функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(–x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы. Обратите внимание, что 0Ф(x)0,5.

В нашем случае k₁=300, k₂=400:

, ,

Задание 5. Найти закон распределения дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁ < x₂. Вероятность того, что Х примет значение x₁ равно 0,6. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М[X] = 1,4 и дисперсию D[X] = 0,24.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, поэтому вероятность того p₂, что X примет значение x₂, равна 1–0,6=0,4. Запишем закон распределения дискретной случайной величины X:

X	x1	x2
P	0,6	0,4

Для отыскания x₁ и x₂ составим два уравнения. По определению

M[X] = = x₁p₁+x₂p₂+ ... +x_np_n.

Учитывая, что по условию М[X] = 1,4, запишем первое из уравнений:

.

Принимая во внимание, что по условию D[X] = 0,24, и используя равенство

,

напишем второе уравнение:

, или .

В результате получается следующая система уравнений:

Выразив x₁ из первого уравнения и подставив его во второе, получим квадратное уравнение

.

Отсюда находим два решения: и (отсюда получаем также, что и ). По условию , поэтому задаче удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

X	1	2
P	0,6	0,4

Задание 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения.

Найти: а) параметр k; б) математическое ожидание; в) дисперсию.

Решение. Найдем плотность распределения f(x)=F'(x):

Параметр k определим из условия

.

В нашем случае

.

Таким образом, плотность распределения имеет вид

Найдем теперь математическое ожидание

.

Найдем теперь дисперсию, для этого предварительно вычислим

.

Тогда

.

Задание 7. Известны математическое ожидание а=165 и среднее квадратичное отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность: а) попадания этой величины в заданный интервал (170, 180); б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на .

Решение. Плотность функции нормального распределения имеет вид

.

Функция нормального распределения имеет вид

.

Однако часто вместо функции нормального распределения используется функция Лапласа (x):

,

где – функция Лапласа.

Вероятность того случайная величина X, описываемая нормальным распределением, примет значение, принадлежащее интервалу (,), имеет вид

.

В нашем случае получим

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа  вычисляется по формуле:

В нашем случае получим

Задание 8. Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда:

x	582-589	589-596	596-603	603-610	610-617	617-624	624-631	631-638	638-645	645-652
n	4	5	6	12	21	17	9	7	5	4

а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания отклонения с доверительной вероятностью =0,95. б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности. в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости =0,05.

Решение. а) Вычислим основные числовые характеристики данного вариационного ряда, используя упрощенный метод расчета моментов. Для этого вместо интервального ряда введем дискретный, записав вместо интервалов только середины интервалов, а результаты занесем в таблицу. По упрощенному методу вводим новую переменную

.

Далее, в соответствии с данными таблицы получаем

,

.

Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, т.е. она дает заниженное значение дисперсии генеральной совокупности. Поэтому вместо выборочной дисперсии используют исправленную выборочную дисперсию

.

В данном случае

.

Тогда среднеквадратичное отклонение равно

.

xi	ni	ui	niui
585,5	4	–4	–16	64	–256	1024
592,5	5	–3	–15	45	–135	405
599,5	6	–2	–12	24	–48	96
606,5	12	–1	–12	12	–12	12
613,5	21	0	0	0	0	0
620,5	17	1	17	17	17	17
627,5	9	2	18	36	72	144
634,5	7	3	21	63	189	567
641,5	5	4	20	80	320	1280
648,5	4	5	20	100	500	2500
S	90		41	441	647	6045

Доверительным интервалом (,) для статистического параметра  называется интервал, который с заданной вероятностью  "накрывает" неизвестное значение параметра, т.е.

.

Доверительный интервал для математического ожидания a, в случае нормального распределения с неизвестным средним квадратичным отклонением (точнее, известна только его оценка), имеет вид

,

где t – коэффициент, связанный с распределением Стьюдента и определяемый объемом выборки n и доверительной вероятностью . Коэффициент t обычно находится из таблиц по заданным степеням свободы k=n–1 и доверительной вероятности  (или уроню значимости =1–).

В рассматриваемом случае n=90, следовательно k=89. Тогда, при =0,95, по таблицам для распределения Стьюдента, находим,

.

В результате получаем

.

Отсюда

.

б) Найдем теперь выборочные значения начальных и центральных моментов:

, .

По упрощенному методу, сначала вычисляется центральный момент для новой переменной m_k(u), а затем находят моменты для заданной переменной m_k(x) по формуле

.

Между начальными и центральными моментами существует взаимосвязь:

, .

Здесь нужно иметь в виду, что , .

Найдем начальные моменты по данным таблицы:

, .

Тогда

,

.

Зная моменты 3-го и 4-го порядков, можно вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс:

, .

Асимметрия положительна, следовательно, распределение характеризуется незначительной правосторонней асимметрией. Отрицательный эксцесс указывает на более плосковершинное распределение по сравнению с нормальным.

Определим теперь значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса. Для этого вычислим погрешность вычислений по формулам

,

.

Посмотрим теперь, попадают ли найденные значения в "трехсигмовый" интервал:

, .

Из полученных неравенств следует, что коэффициент асимметрии и эксцесс не значимо отличаются от нуля и есть все основания полагать, что распределение генеральной совокупности является нормальным.

в) Критерием согласия называется критерий поверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. В соответствии с критерием Пирсона сначала вычисляется величина

,

где p_i – вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения. Заметим, что c²-распределение можно применять только при достаточно большом объеме выборки (nt50) и достаточно больших частотах (n_i³5). Ту группу вариационного ряда, для которых последнее условие не выполняется, объединяют с соседней и, соответственно, уменьшают число интервалов. В рассматриваемом случае мы должны объединить интервалы 1 и 2, а также 9 и 10 (см. таблицу).

i	xi–xi+1	ni
1	582-589	4	–0,4131	–0,4887	0,0756	6,804	0,709
2	589-596	5
3	596-603	6	–0,3159	–0,4131	0,0972	8,748	0,863
4	603-610	12	–0,1700	–0,3159	0,1459	13,131	0,097
5	610-617	21	0,0080	–0,1700	0,1780	16,020	1,562
6	617-624	17	0,1844	0,0080	0,1764	15,876	0,080
7	624-631	9	0,3264	0,1844	0,1420	12,780	1,118
8	631-638	7	0,4192	0,3264	0,0928	8,352	0,219
9	638-645	5
10	645-652	4	0,4898	0,4192	0,0706	0,0706	1,102
		90			0,9785	88,065	5,750

В предположении, что имеет место нормальное распределение, были оценены два параметра этого распределения: и . Если изучаемое распределение подчинено нормальному распределению, то вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (x_i<X<x_i+1), находится по формуле

,

где

– функция Лапласа, значения которой табулированы и приводятся в таблицах. Следует отметить, что функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. (–x)=–(x).

Из расчетной таблицы видно, что

.

Теперь найдем критическое значение . Поскольку у предполагаемой модели были неизвестны оба параметра, поэтому k=2; при расчете критерия использовались восемь интервалов r=8. Таким образом, число степеней свободы =r–1–k=5. При заданном уровне значимости из таблиц для c²-распределения находим

.

Поскольку , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. что исходное распределение является нормальным.

Задание 9. Методом наименьших квадратов подобрать функцию по табличным данным и сделать чертеж.

x	0	2	4	6	8	10	12
y	1080	935	724	362	176	43	19

Решение. В соответствие с методом наименьших квадратов (МНК) следует подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы функция

приняла минимальное значение. Необходимым условием экстремума функции Q является равенство нулю всех частных производных по неизвестным параметрам. Чтобы упростить вычисления вместо искомой функции рассмотрим ее логарифм

.

Тогда функция Q будет иметь вид

.

Составляем систему уравнений

Отсюда находим

и .

Далее, составим таблицу вычислений:

x	y	lny	x2	x4	x2lny
0	1080	6,985	0	0	0,000	1064,3
2	935	6,841	4	16	27,362	947,1
4	724	6,585	16	256	105,357	667,5
6	362	5,892	36	1296	212,099	372,6
8	176	5,170	64	4096	330,911	164,7
10	43	3,761	100	10000	376,120	57,7
12	19	2,944	144	20736	423,999	16,0
6	477	5,454	52	5200	210,836

По данным таблицы находим

, ,

Таким образом, искомая функция имеет вид

.

И зобразим на рисунке исходные данные (квадратики) и график искомой кривой: