LEKTsIYa_10

ЛЕКЦИЯ № 14.

6.3. Циклические коды.

Достоинства циклических кодов: простота в реализации и при невысокой избыточности обладают хорошими свойствами обнаружения ошибок. Они получили очень широкое распространение в технике связи и в компьютерных средствах хранения информации.

Циклические коды – подкласс класса линейных кодов, которые удовлетворяют

Здесь остаточный полином Ci ( p) представляет кодовое слово в циклическом коде, Q( p) - частное.

Можно сгенерировать (n, k ) код, используя порождающий полином g( p)

состоящее из k бит. Тогда помехоустойчивое кодовое слово можно получить

Кодовые слова (6.14) удовлетворяют циклическому сдвигу (6.11), рассмотренному выше.

В общем случае полином pn 1 можно факторизовать следующим образом:

Пример 1. Пусть n 7 . Надо синтезировать код (7,4).

Порождающий полином должен быть третьей степени (7-4=3). Тогда

Для генерирования дуального кода используют обратный полином:

Так же можно сконструировать порождающую матрицу G в систематической

соответствующий первой строке: 1 на 6-ой, 2-ой и 0- ой позиции, 0 – на остальных.

Для формирования помехоустойчивого слова в систематической форме можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1)умножим полином сообщения на pn k : X ( p) pn k ,

2)делим X ( p) pn k на g( p) , чтобы получить остаток r( p) ,

3)добавим r( p) к X ( p) pn k , т.е. r( p)+X ( p) pn k - систематический код

(«+» - по модулю 2).

Некоторый циклические коды.

1)Циклические коды Хемминга. Они эквиваленты кодам Хемминга, рассмотренным ранее.

2)Циклический код Голея: линейный (23,12) –код с порождающим

полиномом g( p) p11 p9 p7 p6 p5 p 1 и минимальным кодовым

расстоянием dmin 7 .

3) Коды Боуза – Чоудхури - Хоквингема (БЧХ коды) - это двоичные и недвоичные коды. Двоичные БЧХ коды можно построить с параметрами

n 2m 1, n k mt,

dmin 2t 1,

где m (m 3) и t - произвольные положительные целые числа. Порождающие полиномы для БЧХ кодов можно получить из множитьелей полинома pn 1 p2m 1 1. Существуют таблицы, где приведены коэффициенты порождающих полиномов для БЧХ кодов. Коэффициенты даны в восьмеричной форме, причем, самая левая цифра соответствует слагаемому полинома с наивысшей степенью. Например, для (15,5) кода коэффициентами полинома являются 2 4 6 7. Тогда в двоичной форме:

10 100 110 111. Значит порождающий полином имеет вид g( p) p10 p8 p5 p4 p2 p 1.

Синдромное декодирование циклических кодов.

Для циклического кода синдром можно вычислить с помощью регистра сдвига. Рассмотрим систематический циклический код. Пусть Y принимаемое помехоустойчивое кодовое слово. Его можно представить полиномом Y ( p) . Так как Y C e , где C - переданное кодовое слово, e - вектор ошибки в канала, то

Если Y ( p) делится на g( p) без остатка, то S ( p) 0 и C Y .

+

Рисунок 6.1. Структурная схема формирования синдрома.

Пример. Задан циклический код Хемминга (7,4) с порождающим полиномом g( p) p3 p 1 . Пусть принято помехоустойчивое кодовое слово

Y 1 0 0 1 1 0 1 .

Порождающий полином можно записать в виде: g( p) p3 0 p2 1 p 1, т.е. g1 1, g2 0 .

Сначала регистры обнулены (ключ в верхнем положении). После того, как n - ый бит вошел в регистр, содержимое n k ячеек образует синдром.

Метод справочной таблицы можно использовать, если n k мало, например, n k 10 . Если n k 20 , то таблица имеет 220 записей. Такой метод декодирования непрактичен для длинных кодов, т.к. требует огромного объема памяти и времени.