83 IV.1.3. Знакочередующиеся числовые ряды

Определение. Знакочередующимся рядом называют ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, т.е. ряд вида

со

= (-1)⁺¹-а

а₁ -а₂+а₃ -а₄ +а₅ -а₆ +... = ^(-1)^и+1 -а_п, (43)

гдео_и> 0 \/n^N.

Исследование на сходимость знакочередующихся рядов проводят с по­мощью теоремы Лейбница, которая позволяет так же оценить в случае сходи­мости сумму ряда и сделанную при этом погрешность.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде

члены таковы, что

_{Х(-1)и+1-«„ к>0)}

и=1

а₁ >а₂ >а₃ >... >а_п >а_п+1 >... (44)

и

lim a_n = 0, (45)

то этот ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена.

Замечания:

32. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (44) выполняются, начиная с некоторого номера N.

33. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейб­ница, то остаток ряда по абсолютной величине не превосходит модуль первого из отброшенных членов, т.е.

| R_n | < а_n+1.

3) Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейб­ница, то его сумма S приближённо равна и-й частичной сумме S_n сточностью, не превосходящей абсолютное значение и+1-го члена, т.е.

S ≈ S„с точностью α < а„+1.

84

(-1)n

3 + n³

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд X

n=0

РЕШЕНИЕ. Данный ряд является знакочередующимся. Проверим выпол­нение условия (44) теоремы Лейбница:

3 + n3 ™ 3 + (n + 1)³ 11

1^? 1

>

a n= 3>a n₊1

33

3 + n3 3 + (n + 1)

11 >

3 + n³ 3 + n3 + 3 n2+3 n + 1 n³+3n²+3n + 4>n³+3, 3 n²+3 n + 1>0. В результате равносильных преобразований получили верное числовое неравенство, следовательно, условие (44) теоремы Лейбница выполняется. Проверим условие (45) теоремы Лейбница:

3 + n³ ^со при n ->оо,

lima =lim —

О,

n->со n->со 2 + n

тогда —» О

3 + n 3

следовательно, условие (45) теоремы Лейбница выполняется. В силу выполнения условий теоремы Лейбница, данный знакочередую­щийся ряд сходится.

ОТВЕТ: ряд 7 , ^ сходится.

(-1)n

_n=03 + n³

85 IV.1.4. Знакопроизвольные числовые ряды

Определение. Ряд называется знакопеременным (или знакопроизволь-ным), если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопроизвольного ряда).

со

Если знакопроизвольный ряд Хan таков, что ряд, составленный из абсолют-

n=1

00

ных величин его членов X' an I сходится, то и данный знакопеременный ряд

n=1

сходится.

со

Определение. Знакопеременный ряд Хan называется абсолютно сходя-

n=1

щимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

со

n=\

со со

Определение. Если знакопеременный ряд Хan сходится, а ряд Yj\an L

n=1 n=1

составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный знако-

со

переменный ряд X^an называется условно или неабсолютно сходящимся ря-

n=1

дом.

86 IV.2. Функциональные ряды

Определение. Пусть задана некоторая последовательность функций щ(х\ и₂(х), …, и_п(х\ и_п+х(х), … . Функциональным рядом называется сумма всех чле­нов этой последовательности и обозначается

GO

Y_ju_n(x) = u_l(x) + u₂(x) + ... + u_n(x) + u_n+l(x) + ... . (46)

й=1

Придавая переменной х определённые числовые значения, будем полу­чать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или рас­ходящимися.

Определение. Совокупность значений переменной х, при которых функ­циональный ряд (46) сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Определение. Сумму п первых членов ряда (46) называют п^й частичной суммой функционального ряда и обозначают

S_n(х) = щ{х) + и₂(х) + … + и_п{х).

Определение. Сумму оставшихся членов ряда (46) с и+1-го до бесконеч­ности называют остатком ряда (46) и обозначают

R„(x) = и_п+х{х) + и_п+1{х) + и_п+3(х) + … .

Замечания. 1) В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от переменной х, которую принято обозначать Зх.

2) Если функциональный ряд сходится и его сумма равна S(х ), то

S(х) = S_n(х) + R_n(x).

3) Для всех значений переменной х в области сходимости ряда существу­ет предел частичных сумм lirn S_n (х) = S(х), откуда следует существование пре-

дела остатка HmR_n(x) = \im(S(x) - S_n(x)) = О, т.е. остаток RJx) сходящегося ря-

и->со и->со

да стремится к нулю при и→∞.

87 Правило отыскания области сходимости. Для того, чтобы найти об-

ласть сходимости функционального ряда X^w»(x)

надо применить признак Да-

и=1

ламбера или радикальный признак Коши к ряду из абсолютных значений

GO

Yj\un(x)\. Затем на границах области, полученной из решения неравенства

п и=1

q(х) < 1, исследовать сходимость конкретных числовых рядов с помощью дру­гих признаков (достаточный расходимости, сравнения, интегральный, теорему Лейбница).

Замечание. Находить область сходимости функциональных рядов, рас­смотренных в примерах, можно также используя понятия степенного ряда и радиуса его сходимости.

ПРИМЕРЫ. Найти область сходимости функциональных рядов:

» 0 + 1)² ^(х + 2)^2й+1

1)2.—; 2)2..

и=1 ^Х и=1 (П + \)\

РЕШЕНИЕ.

1) Область определения функций, являющихся членами данного ряда, есть множество х е (-сю; 0) и (0; + сю). Применим признак Даламбера к ряду, членами которого будут абсолютные значения членов исходного ряда, (п + Х)²

х"

Для этого определяем n-й и n+1-й члены этого ряда

и=1

(п + Х)

(п +I)² , , ,

\и_п(х)\=

; \u„_J_Jx)\ =

х"

\х\" ^й+1

затем находим предел их отношения

(п +1 + \)

_x

n^+l

(п + 2у

I Y Г ^{+ 1}

q{x) = lim "⁺¹ = lim = lim

|w₊₁(x)| (п + 2)²-\х\^п (п + 2)² 1

»-**> | w„ (x) | «-**> | x Г¹ <л +1)² «->« (и +1)² | x |

88

( ОЛ2 , П\\+2 ) 2 _л (1+2 )

•lim V = —-Hm ?—= —-Km

|X| «-«(h + I)² I JC I ^И^„2(1 + -)² '*' "^(1 + -)

1 (1 + 0)² 1 1

•1=

|x| (l + O) 2 |x| I jc |

По признаку Даламбера ряд будет сходиться при выполнении условия q{x) <\:

q(x) = — < 1,

| ■*|

1<|jc|,

Г JC>1,

_jc<-1

хе(-оо;-1)и(1;+оо),

следовательно, при всех x e (-oo; -1) u (l;+oo) исходный функциональ­ный ряд будет сходящимся.

Так как признак Даламбера не отвечает на вопрос о сходимости при q(x) = 1, необходимо исследовать ряд на сходимость при значениях переменной х, соответствующих этому равенству, а именно на границах найденного интер­вала: при х= 1 и! = - 1. Для этого подставляют значения переменной в исход­ный ряд и исследуют полученные числовые ряды на сходимость.

^ О +1)²

Подставим х = 1 в ряд 2^ й:

и=1 ^Х

1 1

и=1 ^х и=1 ^х и=1

полученный ряд является знакоположительным числовым рядом, он рас­ходится по достаточному признаку расходимости, так как п-й член этого ряда не стремится к нулю при и→∞:

lim(« + l)²=oo^0.

П^-оо

89 Следовательно, х = 1 не входит в область сходимости исследуемого

функционального ряда.

^м 0 + 1)²

и=1 •*

O + i)²

Подставим х = - 1 в ряд X

_Z

^{£(-!)"• (я+ 1)2,}

полученный ряд является знакочередующимся числовым рядом, он рас­ходится по теореме Лейбница, так как не выполняются условия (44) и (45) этой теоремы:

a_n={n + \f<a_n+l={n + 2f VneN,

lim^=lim(« + l)²=oo^0.

И->со И->со

Следовательно, х = - 1 не входит в область сходимости исследуемого функционального ряда.

Таким образом, областью сходимости исходного ряда является множест­во х е (-со; -1) u (1;+оо).

2) Область определения функций, являющихся членами функционального

(x + 2)²"^+l

_{ряда £(^1)Г}

есть вся числовая ось х е R. Применим признак Даламбера

к ряду, членами которого будут абсолютные значения членов исходного ряда,

(х + 2)^2,м

(и + 1)!

Для этого определяем n-й и n+1-й члены этого ряда

и=1

2n+1

2n+1

2(n+1)+1

2n+3

u_n(x)|=

u_n+1( x )|

(x + 2)

(n + 1)!

(x + 2)

(n + 1 + 1)!

x + 2

(n + 1)!

| x + 2

(n+ 2)!

затем находим предел их отношения

90

/ l"„₊i(*)l |х + 2|^2и+3-0 + 1)! \х + 2\²(п + \)\q{ x) = lim = lim = lim =

ⁿ^\u_n{x)\ "^(n + 2)\-\x + 2\2n^+l n^(n + 2)-(n + l)\

=\x + 2\2 -\im^—=\x + 2\-0 = 0. ⁿ^^xn + 2

Получили, что q(x) = 0 < 1 при любых значениях переменной х, следова­тельно, по признаку Даламбера ряд будет сходиться при всех xeR. Таким об­разом, областью сходимости исходного ряда является множество

^м 0 + 1)²

является множество

и=1 ^Х

ОТВЕТ: 1) областью сходимости ряда X

X G (-оо; -1) U (1;+оо) ;

тгг является множество

^0 + 2)^2й+1 2) областью сходимости ряда 2^

хе(-оо;+оо).

91 V. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

34. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.

35. Таблица основных интегралов.

36. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена пере­менной, интегрирование по частям.

dх

4. Вывод рекуррентной формулы для I_n ~ J

ⁿ *(х²+a²) ⁿ

37. Понятие комплексного числа, действия над комплексными числами.

38. Интегрирование рациональных функций. Разложение неправильной дроби в сумму целой части и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму элементарных дробей.

39. Интегрирование элементарных дробей I, II, III, IV типа.

40. Интегрирование тригонометрических функций R(cosx,sinx\ универсальная тригонометрическая подстановка.

41. Интегрирование тригонометрических функций вида cos^m x-sinⁿx.

42. Интегрирование иррациональных функций вида

a ik

^ ^ (ах + ЬЛъ (ах + ЪЛъ

R(x,X^S₁ ,...,X^Sk ), R(x,[ Г ,..., ).

V ex + dJ V ex + dJ

43. Интегрирование иррациональных функций вида Я(л1ах² +bx + c , х\ три­гонометрические подстановки.

44. Определение, свойства и оценки определенного интеграла.

45. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о существовании про­изводной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона -Лейбница.

46. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

47. Теорема об интегрировании четных и нечетных функций по симметричному относительно нуля интервалу.

92

16. Вычисление площади плоской фигуры, заданной уравнениями в декартовой

системе, параметрическими уравнениями, в полярной системе координат.

48. Вычисление длины дуги, заданной уравнениями в декартовой системе, па­раметрическими уравнениями, в полярной системе координат.

49. Вычисление объемов тел через площадь сечения и тел вращения.

50. Приближенные методы интегрирования (прямоугольников, трапеций, Симп-сона).

51. Несобственные интегралы: определения, сходимость.

52. Понятие функции двух, трех и большего числа переменных. Способы зада­ния функций двух переменных.

53. Предел, непрерывность функции двух переменных.

54. Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл.

55. Полный дифференциал функций многих переменных, формула приближен­ного вычисления значений функций многих переменных с помощью полно­го дифференциала.

56. Геометрический смысл дифференциала. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

57. Дифференцирование неявно заданных функций (одной и более переменных) и сложных функций многих переменных.

58. Производные высших порядков для функций многих переменных.

59. Градиент и производная по направлению.

60. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие существо­вания экстремума функций многих переменных в точке. Достаточное усло­вие существования экстремума функций двух переменных.

30. Понятие о дифференциальном уравнении: определение, порядок, общее ичастное решения. Задача Коши.

31. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменны­ми (метод решения).

32. Дифференциальные уравнения 1-го порядка однородные (метод решения).

93

33. Дифференциальные уравнения 1-го порядка линейные и Бернулли (метод

решения).

61. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (методы решений).

62. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф­фициентами, характеристический многочлен, структура общего решения для второго порядка.

63. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными ко­эффициентами со специальной правой частью: структура общего решения и определение частного решения по виду правой части.

64. Числовой ряд. Основные понятия. Сходимость и свойства сходящихся ря­дов.

65. Необходимый признак сходимости ряда (доказательство).

66. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: сравнения, Д^/Аламбера, Коши, интегральный.

67. Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница (доказательство).

68. Абсолютная и условная сходимость знакопроизвольных числовых рядов.

69. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости.

70. Отыскание области сходимости функционального ряда.

71. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

72. Ряды Тейлора и Маклорена.

73. Разложение некоторых функций в степенной ряд.