IV.1. Числовые ряды IV.1.1. Основные определения

Определение. Пусть задана некоторая числовая последовательность а\, а₂, …, а_п, а_n+i, … . Числовым рядом называется сумма всех членов этой последова­тельности и обозначается

GO

Y_ja_n=a_l+a₂+... + a_n+a_n+l+... . (₄l)

и=1

В этом случае члены последовательности а\, а₂, … называются членами ряда, а а_п называют общим членом ряда (или и-ым членом ряда).

Определение. Сумму п первых членов ряда (41) называют тьй частичной суммой ряда и обозначают

S„ = аi + а₂ + … + а_п.

Определение. Сумму оставшихся членов ряда (41) с и+1-го до бесконеч­ности называют и-ым остатком ряда и обозначают

R_n = а_п+\ + а_п+2 + а_п+3 + … .

Используя определения частичной суммы и остатка, ряд (41) можно пред­ставить в виде их суммы:

GO

I,a„=S„+R„.

и=1

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм Si, S₂, …, S„,… этого ряда, т.е. lim S_n =S = const. В противном случае (если предел частичных сумм не суще-

и->со

ствует или равен бесконечности) ряд называется расходящимся.

78

Свойства сходящихся рядов

со

1) Если ряд X^й

сходится и его сумма равна 5, т.е. £_₁^а_п ~ $, то сходится

и=1 и=1

ряд

и=1

X^'a«, где & = const, причём его сумма равна k·S, т.е.

^{3> «„=*•£}

и=1

2) Если ряды X^й» и Х^

п и п

п=\ п=\

сходятся и их суммы соответственно равны 51

П п и П П

и=1 и=1

и 52, то сходятся ряды 2^{^а„ + К) и 2^{^а„ ~К), причём их суммы бу-

дут соответственно равны 51+ 52 и 51 - 52. 3) Если ряд сходится, то будет сходиться и ряд, полученный из данного пу­тём приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Для решения этого вопроса ис­пользуют различные признаки.

Необходимый признак сходимости. Если ряд (41) сходится, то его и-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании п:

шга_и=0.

И-»°0

Достаточный признак расходимости. Если и-й член ряда не стремится к нулю при и→∞, то ряд расходится.

со

Замечание. Если limа,, = 0 то ряд Yja» может быть как сходящимся, так

_и=1

и расходящимся, т.е. стремление к нулю общего члена ряда является только не­обходимым, но не достаточным признаком сходимости. Например, так назы-

» 1 \

ваемый гармонический ряд У~ расходится, хотя lim - = 0.

79 IV.1.2. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Определение. Числовой ряд Х^а

ряд /__и^ип называют знакоположительным, если

и=1

все его члены по величине больше нуля, т.е. а_п > О \/п е N.

Для знакоположительных рядов доказаны следующие достаточные при­знаки сходимости, которые часто используют на практике при исследовании рядов на сходимость.

1. Признак сравнения в неравенствах.

Если знакоположительный ряд 2Х сходится, то будет так же сходиться

со

ряд Z-i n , для всех членов которого выполнено неравен-

и=1

знакоположительный ряд Х^

ство _й „

О < Ъ < а \/п е N

п п

со

Если знакоположительный ряд JX расходится, то будет так же расхо-

и=1

СО

диться знакоположительный ряд /_₁^и_п , для всех членов которого выполнено

и=1

п п

знакоположительный ряд Х^ неравенство

2. Признак сравнения предельный.

Ъ ^

Если \ш\— = А = const > О то знакоположительный ряд 2Л будет сходиться

со

в случае сходимости знакоположительного ряда 2^, ^ап или же будет расходиться

и=1

_5>.

в случае, когда расходится ряд _п

п=\

80 3. Признак Даламбера.

то знакоположительный ряд^«_и будет сходиться при

и=1

Если lim^ = ? то знакоположительный ряд JX будет сходиться

И->сО £2

g < 1, расходиться при g > 1. Если g = 1, то ряд может как сходиться, так и рас­ходиться, поэтому необходимо для исследования на сходимость использовать другой достаточный признак (например, сравнения или интегральный).

4. Радикальный признак Коши.

со

Если Шц[а_п = q то знакоположительный ряд У а_п будет сходиться при

„=i

q < 1, расходиться при q > 1. Если q = 1, то ряд может как сходиться, так и рас­ходиться, поэтому необходимо для исследования на сходимость использовать другой достаточный признак (например, сравнения или интегральный).

5. Интегральный признак Коши.

со

Если сходится несобственный интеграл J f{x)dx ,

у которого подынте-

1 гральная функция является непрерывной и невозрастающей, то сходится знако-

со

положительный ряд JX , такой что а_п = /(w)VweiV. Если же указанный

и=1

интеграл расходится, то расходится и ряд.

Замечание. При применении достаточных признаков сравнения часто ис­пользуют ряд Дирихле с показателем/?:

» 1L, — , (42)

и=1 ^П

для которого доказано с помощью интегрального признака, что он схо­дится прир > 1 и расходится прир≤ 1.

81 ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость числовые ряды:

^[)tfn³+5-n-2>

оо Лn n=\ n-

_3)Еn;

n=1 2ⁿ

₄₎₁

1 _n=1(n + 5)-1п(n + 5)

РЕШЕНИЕ.

1) Исследуем на сходимость ряд 2~t ^ о с помощью предельного

Ъ-n + \

n=1

» 1 признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом 2-i~, который является ря-

n=1 n

дом Дирихле (42) с показателем p = 2 и, следовательно, является сходящимся. Применяя признак сравнения, находим предел отношения общего члена

З-n + 1 _ 1

данного ряда b_n - и известного a_n - ~:

2

^l_lm b_{n =} l_lm (ln±lhn ₌ lm

n 3 (3 + -)

n^ n__>00nз₊5_#n_2 n^_м 5 2

n 3а+n-n )

3 + -

₌ lim n з±° ₌ 3.

n-^>а,1 ₊ 5 2 i + 0-o

2 n 3

n Получаем, что предел равен положительному числу А = 3, следовательно исходный ряд сходится.

82

4n

n\

2) Исследуем на сходимость ряд Х^ с помощью признака Даламбера.

n=1

Для этого определяем n-й и n+1-й члены ряда, затем находим предел их отно­шения

4

_1n

a_n =

n+1

a n₊1 =

(n + 1)!

n + 1

a ^ 4ⁿ⁺¹ • n!q = lim^^ = ton = Km

4ⁿ -4-n! 4

= lim = О

(n + 1) • n!4 n n-» n + 1

Получили, что q = 0 < 1, следовательно, ряд сходится.

(n+ 2)n

с помощью радикального

3) Исследуем на сходимость ряд X

признака. Для этого определяем предел от корня n-й степени из n-го члена ряда

q = \imna_n = lim

(n + 2)n n + 2

n

= lim = оо

2n n->«> 2

Получили, что q = ∞ > 1, следовательно, ряд расходится.

4) Исследуем на сходимость ряд X

с помощью инте-

1

_n=1(n + 5)-1п(n + 5) грального признака. Для этого найдем несобственный интеграл

замена: t = ln(x + 5),

f dx f dx . dx = lim = at = ,

J(jc + 5)-ln(jc + 5) *->°°\(x + 5)-\n(x + 5) x + 5

f(l) = ln6, f(e) = lne

lim J —= limlnd^lnE

Ins

_]л lim(ln(lns)-ln(ln6)) = oo

In 6

Получили, что несобственный интеграл расходится, следовательно, ряд так же расходится.

^ З-n + 1 4n

ОТВЕТ: 1) Zu сходится; 2)^—сходится;

n=1

n³ + 5-n-2

^ (n + 2)n ^

2ⁿ

З)^n расходится; 4) X,

n=1

n=1

1

(n + 5)-1п(n + 5)

расходится.